Cho tam giác vuông ABC, F là giao điểm của BD và CE, I là giao điểm của ba đường phân giác

a. Trong tam giác vuông ABC ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}\)

Vì \(\widehat {ABC} = 3{\rm{ }}\widehat {ABD}\) nên \(\widehat {DBC} = \frac{2}{3}\widehat {ABC}\)

Tương tự \(\widehat {ECB} = \frac{2}{3}\widehat {ACB}\)

Vậy \(\widehat {DBC} + \widehat {ECB} = \frac{2}{3}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = \frac{2}{3}{.90^0} = {60^0}\)

Ta có thể viết: \(\widehat {FBC} + \widehat {FCB} = {\rm{ }}{60^0}\)

Suy ra: \(\widehat {BFC} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

b.

 Ta nhận thấy FI là đường phân giác trong vẽ từ đỉnh F của \(\Delta BFC\). Mà \(\widehat {BFC} = {120^0}\) nên \(\widehat {BFI} = \widehat {IFC} = {60^0}\). Suy ra \(\widehat {CFD} = {60^0}\). Hai tam giác CFD và CFI bằng nhau vì có \(\widehat {CFD} = \widehat {CFI} = {\rm{ }}{60^0}\), cạnh CF chung.

\(\widehat {DFC} = \widehat {ICF}\). Suy ra FD = FI.

Chứng minh tương tự ta có: FI = FE.

Ba tam giác cân đỉnh F là DFI, IFE và EFD cùngg có góc ở đính bằng \({120^0}\) và các cạnh bên bằng nhau nên ba tam giác ấy bằng nhau từng đôi một.

Suy ra: DI = IE = ED. Vậy \(\Delta DEI\) là tam giác đều.

 em cảm ơn ạ