Tìm f^(n) (x) biết f(x)=sina với a khác 0

Ta có \(f\left(x\right)=\sin ax\)

         \(f'\left(x\right)=a\cos ax=a\sin\left(ax+\frac{\pi}{2}\right)\)

        \(f''\left(x\right)=a^2\cos\left(ax+\frac{\pi}{2}\right)=a^2\sin\left(ax+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\)

        \(f'''\left(x\right)=a^3\cos\left(ax+\pi\right)=a^3\sin\left(ax+\pi+\frac{\pi}{2}\right)=a^3\sin\left(ax+\frac{3\pi}{2}\right)\)

Dự đoán \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\left(1\right)\)

(1) được chứng minh bằng quy nạp như sau :

- (1) đúng khi n = 1,2,2

- Giả sử (1) đã đúng đến n. Ta phải chứng minh 

\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}\right)\)

Theo giả thiết quy nạp ta có :

\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)'=\left(a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\right)=a^n.a\cos\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}+\frac{n\pi}{2}\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}\right)\)

Vậy (2) đúng.

Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng.

Như vậy ta có : 

\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\)