Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\) Hãy tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\) \( = 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) bằng quy nạp.

Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

+) Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1\) đúng.

+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\).

Thật vậy,

\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2\) \( = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1\) \( = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)

Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)