Cho dãy số \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức truy hồi \(\displaystyle \left\{ \matrix{ {u_1} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\). Chứng minh rằng \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(\displaystyle n\to +\infty \). Tìm giới hạn đó.

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2}\\{u_3} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\\{u_5} = \dfrac{{17}}{{16}} = \dfrac{{{2^4} + 1}}{{{2^4}}}\end{array}\)

Dự đoán \({u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\,\left( * \right)\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Thật vậy,

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = \dfrac{{{2^{1 - 1}} + 1}}{{{2^{1 - 1}}}} = 2\) nên đúng.

+) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\), ta cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Ta có:

\({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {{u_k} + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}\)  \( = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

\( \Rightarrow dpcm\).

Từ đó, 

\(\displaystyle \eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr 
& = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}}} \right] \cr 
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)