YOMEDIA
NONE

Cho dãy số \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức truy hồi \(\displaystyle \left\{ \matrix{ {u_1} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\). Chứng minh rằng \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(\displaystyle n\to +\infty \). Tìm giới hạn đó.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • hồng trang

    \(\displaystyle \left\{ \matrix{
    {u_1} = 2 \hfill \cr 
    {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2}\\{u_3} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\\{u_5} = \dfrac{{17}}{{16}} = \dfrac{{{2^4} + 1}}{{{2^4}}}\end{array}\)

    Dự đoán \({u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\,\left( * \right)\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

    Thật vậy,

    +) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = \dfrac{{{2^{1 - 1}} + 1}}{{{2^{1 - 1}}}} = 2\) nên đúng.

    +) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\), ta cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

    Ta có:

    \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {{u_k} + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}\)  \( = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

    \( \Rightarrow dpcm\).

    Từ đó, 

    \(\displaystyle \eqalign{
    & \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr 
    & = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}}} \right] \cr 
    & = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)

      bởi hồng trang 01/03/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON