Xác định \(a, b, c\), biết parabol \(y = ax^2+ bx + c\) đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\).

Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:

\(a.8^2+b.8+c=0\) \( \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\) (1)

Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta  có: 

\( - \frac{b}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow  - b = 6.2a \)

\(\Leftrightarrow  - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0\) (2)

\( - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 12 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} = 12 \)

\(\Leftrightarrow \Delta  = 12.4a \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 48a\) (3)

\(\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Rightarrow b =  - 12a\\
 \text {Thay vào } \left( 3 \right):\,144{a^2} -4ac = 48a \\ \Leftrightarrow 144{a^2} - 48a = 4ac\\ \Leftrightarrow c = \dfrac{{144{a^2} - 48a}}{{4a}} = 36a - 12\,\,\left( 4 \right)
\end{array}\)

Thay (2) và (4) vào (1) ta được: \(\begin{array}{l}
64a + 8.\left( { - 12a} \right) + 36a - 12 = 0\\
 \Leftrightarrow 64a - 96a + 36a - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 4a - 12 = 0
 \Leftrightarrow a = 3
\end{array}\)

Khi đó \(b = -36\) ; \(c= 96\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 3x^2- 36x + 96\).