Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác nhọn ABC

Ta có: \(\overrightarrow{EH}=\left ( -\frac{13}{10};\frac{39}{10} \right )\) suy ra phương trình đường thẳng \(EH=3x+y-2=0\)
\(F=BC\cap EH\Rightarrow\) tọa độ điểm F là nghiệm của hệ 
\(\left\{\begin{matrix} 3x+y-2=0\\ x+y-4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ y=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow F(-1;5)\Rightarrow EF=\frac{3\sqrt{10}}{2}\)
Tứ giác AHIE nội tiếp đường tròn đường kính AI nên \(\widehat{IHE}=\widehat{IAE}=\widehat{FHC} \ \ (1)\)
Lại có \(\left\{\begin{matrix} \widehat{IAE}=\widehat{IBE}\\ \widehat{ICB}=\widehat{IBC}\\ \widehat{EFB}=\widehat{CFH}+\widehat{FCH} \end{matrix}\right. \ \ \ (2)\) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EBF}=\widehat{EFB}\Rightarrow \Delta FEB\)
cân tại \(E\Rightarrow EF=AE=EB=\frac{3\sqrt{10}}{2}\Rightarrow AF\perp FB\Rightarrow AF\perp BC\)
Suy ra đường thẳng AF đi qua F và vuông góc với BC là: \(x-y+6=0\). Gọi \(A(t;6+t)\in AF\)
\(\overline{AE}=\left ( \frac{1}{2}-t;-\frac{11}{2}-t \right )\Rightarrow AE=\frac{3\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{\left ( \frac{1}{2}-t \right )^2+\left ( -\frac{11}{2} -t\right )^2}=\) \(\frac{3\sqrt{10}}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2xt^2+10t+8=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=-1\\ t=-4 \end{matrix}\)
Với \(t=-1\Rightarrow A(-1;5)\) loại do trùng với F. Với \(t=-4\Rightarrow A(-4;2)\). Do E là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow B(5;-1)\)
\(\overline{AH}\left ( \frac{16}{5};\frac{12}{5} \right )\) suy phương trình đường thẳng IC đi qua H và vuông góc với AH là: 4x + 3y - 10 = 0. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 4x+3y-10=0\\ x+y-4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2\\ y=6 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(-2;6)\)
 Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là: \(A(-4;2);B(5;-1);C(-2;6)\)