Thực hiện xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\)

+ Parabol \(y = a{x^2}\; + {\rm{ }}bx + 2\) đi qua điểm \(B(–1 ; 6)\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}6 = a.{\left( {-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}b.\left( {-1} \right) + 2\) \( \Rightarrow 6 = a - b + 2\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}a - b = 4{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

+ Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có:

\({ - \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4} \) \( \Leftrightarrow 4\Delta  = 4a \Leftrightarrow \Delta  = a \) \(\Leftrightarrow {b^2} - 4a.2 = a \Leftrightarrow {b^2} - 8a = a \)

\(\Leftrightarrow {b^2} = 9a\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a - b = 4\\
{b^2} =9a
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9a = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9\left( {4 + b} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9b - 36 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 16\\
b = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\).