Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1

ĐKXĐ: \(x\geq 0\)
+) Hệ PT tương đương với \(\left\{\begin{matrix} x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=\sqrt{x^2+1}+x \ (1)\\ x^3(4y^2+1)+2(x^2+1)\sqrt{x}=6 \ \ \ \ \ (2) \end{matrix}\right.\)

+) Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình do đó
\(x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow (2y+2y\sqrt{(2y)^2}+1)\)
\(=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{(\frac{1}{x})^2+1} \ \ (*)\)
+) Xét hàm số \(f(t)=t+t\sqrt{t^2+1}, t\in (0;+\infty )\) do \(f'(t), \forall t\in (0;+\infty )\) suy ra hàm số f(t) đồng biến trên \((0;+\infty )\) (**)
+) Từ (*) và (**) nhận được \(2y=\frac{1}{x}\) thế vào phương trình (2) trong hệ ta được
\(x^3\left ( \frac{1}{x^2}+1 \right )2(x^2+1)\sqrt{x}=6\Leftrightarrow x^3+x+2(x^2+1)\sqrt{x}=6\)
+) Ta thấy hàm số \(g(x)= x^3+x+2(x^2+1)\sqrt{x}-6\) đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
+) Lại có g(1) = 0 suy ra phương trình \(g(x)= x^3+x+2(x^2+1)\sqrt{x}-6=0\) có nghiệm duy nhất \(x=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)
Vậy: Hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y)=(1;\frac{1}{2})\)