Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{6x+y}+\sqrt{5x+2y}=\sqrt{2x-y}+\sqrt{x}

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ 2x-y\geq 0\\ 5x+2y\geq 0\\ 6x+y\geq 0 \end{matrix}\right.\)
Nhận xét x = 0 không thỏa hệ nên chia hai vế của (1) cho \(\sqrt{x}\), ta được: 
\(\sqrt{\frac{y}{x}+6}+\sqrt{2\frac{y}{x}+5}=\sqrt{2-\frac{y}{x}}+1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{t+6}+\sqrt{2t+5}=\sqrt{2t+5}=\sqrt{2-t}+1\) với \(t=\frac{y}{x}\)
 Do \(f(t)=\sqrt{t+6 }+\sqrt{2t+5}\) đồng biến trên \(\left ( -\frac{5}{2};2 \right )\) và \(g(t)=\sqrt{2-t}+1\)
nghịch biến trên \(\left ( -\frac{5}{2};2 \right )\) nên t = -2 là nghiệm duy nhất.
Suy ra \(\frac{y}{x}=-2\Leftrightarrow y=-2x\)
Thay vào (2), ta được: 
\(\sqrt{4x^2+x+6}=-2x+1+5\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)^2+5(x+1)}=-(2x-1)+5\sqrt{x+1}\)
Chia cho \(\sqrt{x+1}>0\), ta được \(\sqrt{\left ( \frac{2x-1}{\sqrt{x+1}} \right )^2+5}=-\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}+5\)
Đặt \(a=\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}\Rightarrow \sqrt{a^2+5}=-a+5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq 5\\ a=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=2\)
Với \(a=2\Rightarrow 2\sqrt{x+1}=2x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ 4(x+1)=(2x-1)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1+\frac{\sqrt{7}}{2}\)
Nghiệm của hệ là: \(\left ( 1+\frac{\sqrt{7}}{2};-2-\sqrt{7} \right )\)