Giải bất phương trình: \(\frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 2x + 1 - x - 1}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0
\end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x = 0\\
x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( { - 1 < 0 < 1 < 3} \right)
\end{array}\)

Xét dấu của \(f(x)\) ta được bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = (-∞; - 1) ∪ (0; 1) ∪ (1; 3)\).