YOMEDIA
NONE

Chứng minh a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+căn(2abc/((a+b)(b+c)(c+a)))>=2

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{2\frac{a}{b+c}.\frac{b}{c+a}.\frac{c}{a+b}}\ge2\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Hình như bạn bị lỗi một chút. Để phải là: CM

    \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 2\)

    Giải như sau:

    Đặt \(\left ( \frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b} \right )=(x,y,z)\). Khi đó, ta thu được điều kiện sau:

    \(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz+2xyz=1\)

    Bài toán chuyển về CM \(x+y+z+\sqrt{2xyz}\geq 2\)\(\)

    \(\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\) \((\star)\)

    Từ điều kiện $(1)$ , áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(\left [ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1} \right ][x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)]\geq (x+y+z)^2\)

    \(\Rightarrow x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\geq (x+y+z)^2\)

    \(\Rightarrow x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)\) $(1)$

    Ta sẽ chứng minh \(2(xy+yz+xz)+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\)$(2)$

    Thật vậy:

    Theo Am-Gm: \(1=xy+yz+xz+2xyz\leq xy+yz+xz+2\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^3}{27}}\)

    Đặt \(\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}}=t\). Ta có

    \(1\leq 3t^2+2t^3\Leftrightarrow (t+1)^2(2t-1)\geq 0\Rightarrow t\geq\frac{1}{2}\)

    Khi đó \((1)\Leftrightarrow 6t^2+\sqrt{1-3t^2}\geq 2\Leftrightarrow (2t-1)(2t+1)(3t^2-1)\leq0\)

    Điều này luôn đúng do \(t\geq \frac{1}{2}\)\(1>xy+yz+xz=3t^2\)

    Do đó $(1)$ được CM.

    Từ \((1),(2)\Rightarrow (\star)\) đúng, bài toán được hoàn thành.

    Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$, hay $a=b=c$

      bởi Nguyễn Thị ngọc Thảo 28/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON