YOMEDIA
NONE

Chứng minh (a^2/b + b^2/c + c^2/a) +( a+b+c) >= (6(a^2 +b^2 + c^2))/(a+b+c)

Chứng minh rằng : Với 3 số dương ta có:

(a^2/b + b^2/c + c^2/a) +( a+b+c) >= [6(a^2 +b^2 + c^2)]/(a+b+c)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hoàng TuyếtAnh

    Lời giải:

    \(\text{BĐT}\Leftrightarrow \left ( \frac{a^2}{b}-2a+b \right )+\left ( \frac{b^2}{c}-2b+c \right )+\left ( \frac{c^2}{a}-2c+a \right )\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)\)

    \(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)]}{a+b+c}(1)\)

    Do BĐT có tính hoán vị giữa các biến nên giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{a+b+c}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}(2)\)

    Ta chỉ cần CM \(\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}\geq \frac{2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]}{a+b+c}(3)\Leftrightarrow (a-c)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2\)

    \(\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\leq 0\). Điều này luôn đúng với $b$ nằm giữa $a$ và $c$

    Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{đpcm}\). Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

      bởi Hoàng TuyếtAnh 28/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF