Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho 2 điểm M, N thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \). Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \)

Áp dụng vào tính chất của trung điểm và trọng tâm của tam giác ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 \) suy ra M là trung điểm của AD

Từ đó ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {DA} } \right| = \frac{1}{2}DA = \frac{a}{2}\)

\(\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \) suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Suy ra \(\overrightarrow {NO}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CO}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NO} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CO} } \right| = \frac{1}{3}CO\)

Ta tính được \(AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow CO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NO} } \right| = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

Vậy độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \) lần lượt là \(\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)