YOMEDIA
NONE

Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\). Lập phương trình tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình: \(y = kx + m\) hay \(kx - y + m = 0\).

    Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},\Delta ) = {R_1}\\d({I_2},\Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {3k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2\,\,(1)\\\dfrac{{\left| {6k - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\,\,(2)\end{array} \right.\)

    Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|\).

    Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k - 3 + m)\)\( \Leftrightarrow m = 6 - 9k\)  (3)

    Thay vào (2) ta được \(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

    \( \Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0\)

    \( \Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_1} = \dfrac{{9 + \sqrt {17} }}{8}\\{k_2} = \dfrac{{9 - \sqrt {17} }}{8}\end{array} \right.\)

    Thay giá trị của k vào (3) ta tính được \(\left[ \begin{array}{l}{k_1} = 6 - 9{k_1}\\{k_2} = 6 - 9{k_2}\end{array} \right.\)

    Vậy ta được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};\)\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.\)

    Trường hợp 2: \(3k + m =  - 2(6k - 3 + m)\)\( \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k\)\( \Leftrightarrow m = 2 - 5k\) (4)

    Thay vào (2) ta được \(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

    \( \Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow k = 0.\)

    Thay giá trị của \(k\) vào (4) ta được \(m = 2\).

    Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _3}:y = 2.\)    

    Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với \(Ox\) tại \({x_0}\):\({\Delta _4}:x - {x_0} = 0.\)

    \({\Delta _4}\) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi

    \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1}\\d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3 - {x_0}} \right| = 2\\\left| {6 - {x_0}} \right| = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 5\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{x_0} = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5\)

    Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _4}:x - 5 = 0\).

    Vậy hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\)và \({\Delta _4}\).

      bởi Nguyễn Hồng Tiến 22/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF