Cho hai điểm \(A(-1 ; 2), B(3 ; 1)\) và đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t.\end{array} \right.\). Tìm tọa độ điểm \(C\) trên \(\Delta \) sao cho tam giác \(ABC\) cân.

Phương trình của \(\Delta \) có dạng tổng quát là \(x-y+1=0\). Rõ ràng \(A, B  \notin \Delta \).

Xét \(C(x ; x + 1)  \in \Delta \).

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

\( \Leftrightarrow   A{C^2} = A{B^2}\)

\(\Leftrightarrow    {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2} = {4^2} + {1^2}\)

\( \Leftrightarrow   2{x^2} + 2 = 17     \Leftrightarrow   x =  \pm  \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\).

Có hai điểm thỏa mãn là

\({C_1} = \left( { \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} ;  \dfrac{{\sqrt {30}  + 2}}{2}} \right) ,\) \(  {C_2} = \left( { -  \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} ,  \dfrac{{2 - \sqrt {30} }}{2}} \right)\).

\(\Delta ABC\) cân tại \(B\)

\( \Leftrightarrow   B{C^2} = B{A^2}    \Leftrightarrow   {(x - 3)^2} + {x^2} = 17\) 

\( \Leftrightarrow   {x^2} - 3x + 4 = 0    \Leftrightarrow   x =  - 1\) hoặc \(x=4.\)

Có hai điểm thỏa mãn là \({C_3} = ( - 1 ; 0),  {C_4} = (4 ; 5)\).

\(\Delta ABC\) cân tại \(C\)

\( \Leftrightarrow   C{A^2} = C{B^2} \)

\(   \Leftrightarrow   {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2}\)

\(= {(x - 3)^2} + {x^2}    \Leftrightarrow   x =  \dfrac{7}{6}\).

Có một điểm thỏa mãn là \({C_5} = \left( { \dfrac{7}{6} ;  \dfrac{{13}}{6}} \right)\).