Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo tham số \(m\) với \(\begin{array}{l}{\Delta _1}:4x - my + 4 - m = 0;\\{\Delta _2}:(2m + 6)x + y - 2m - 1 = 0.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - m}\\{2m + 6}&1\end{array}} \right|\\ = 4.1 - ( - m)(2m + 6)\\ = 2{m^2} + 6m + 4 = 2(m + 1)(m + 2).\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m}&{4 - m}\\1&{ - 2m - 1}\end{array}} \right| \\= ( - m)( - 2m - 1) - 1.(4 - m) \\= 2{m^2} + 2m - 4\\ = 2(m - 1)(m + 2).\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - m}&4\\{ - 2m - 1}&{2m + 6}\end{array}} \right|\\ = (4 - m)(2m + 6) - 4( - 2m - 1)\\ =  - 2{m^2} + 10m + 28\\ =  - 2(m - 7)(m + 2).\end{array}\)

- Xét \(D \ne 0    \Leftrightarrow    2(m + 1)(m + 2) \ne 0\) \(    \Leftrightarrow   m \ne  - 1\) và \(m \ne  - 2\). Khi đó \({\Delta _1},  {\Delta _2}\) cắt nhau và giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{{{D_x}}}{D} =  \dfrac{{2(m - 1)(m + 2)}}{{2(m + 1)(m + 2)}} =  \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\\y =  \dfrac{{{D_y}}}{D} =  \dfrac{{ - 2(m - 7)(m + 2)}}{{2(m + 1)(m + 2)}} =  \dfrac{{7 - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.\).

- Xét \(D = 0    \Leftrightarrow   2(m + 1)(m + 2) = 0 \) \(  \Leftrightarrow m =  - 1\) hoặc \(m =  - 2\).

Với \(m=-1\) thì \({D_x} = 2( - 2).1 =  - 4 \ne 0\). Khi đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song.

Với \(m=-2\) thì \(D = {D_x} = {D_y} = 0\). Khi đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.