Tìm a, b sao cho \(f(x) = a\sin x + b{\cos ^{25}}x \ge 0\,\,\,\,\,\forall x\)?

Đk: a²+b²=1

a²+b²=1

??????????????????????????????????????????????????

??????...

iểu thức $a\sin x+b\cos x$ gây khó khăn cho ta trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, giải phương trình asinx + bcos x = c. Việc biến đổi biểu thức này về một giá trị lượng giác sẽ giúp ta giải quyết 2 vấn đề trên.

Ta xét biểu thức cụ thể đầu tiên:

\begin{array}{ll}A&=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\\&=\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\sin\frac{\pi}{3}\cos x\\&=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\end{array}A​=21​sinx+23​​cosx=cos3π​sin x+sin3π​cosx=sin(x+3π​)​

Chú ý: Ta đã dùng công thức cộng: $\sin a\cos b+\cos a\sin b=\sin (a+b).$

Biểu thức thứ hai:

\begin{array}{ll}B&=\sin x-\sqrt{3}\cos x\\&=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\\&=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin x-\sin\frac{\pi}{3}\cos x\right)\\&=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\end{array}B​=sinx−3​cosx=2(21​sinx−23​​cosx)=2(cos3π​sin x−sin3π​cosx)=2sin(x−3π​)​

Để ý rằng ta đã rút nhân tử 2 chính là 2=\sqrt{1^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{a^2+b^2}.2=12+(−3​)2​=a2+b2​.

Tổng quát:

\begin{array}{ll}P&=a\sin x+b\cos x\\&=\sqrt{a^2+b^2}.\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)\\&=\sqrt{a^2+b^2}.\Big(\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x\Big)\\&=\sqrt{a^2+b^2}.\sin\left(x+\alpha\right)\end{array}P​=asinx+bcosx=a2+b2​.(a2+b2​a​sinx+a2+b2​b​cosx)=a2+b2​.(cosαsin x+sinαcosx)=a2+b2​.sin(x+α)​

Chú ý rằng theo công thức lượng giác cơ bản thì \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.sin2α+cos2α=1. Hai số \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}a2+b2​a​ và \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}a2+b2​b​ có tổng bình phương bằng 1 nên ta có thể đặt 2 giá trị này lần lượt là $\cos \alpha$ và $\sin \alpha .$ Vậy ta có công thức:

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}.\sin(x+\alpha)asinx+bcosx=a2+b2​.sin(x+α)

?????????????????????????????????????????.>