Hôm nay chúng ta sẽ qua tiếp dạng 10 cả bài Dao động điều hòa, dạng 10 là Quãng đường dài nhất - Quãng đường ngắn nhất trong khoảng thời gian ∆t.

NHỚ:
Trong \(\frac{1}{2}T \Rightarrow S = 2A\)
Xét \(\Delta t_0 < \frac{T}{2} \Rightarrow S = \overline{v}.\Delta t_0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{max}\\ \overline{v}_{max} \end{matrix}\right.\) ⇒ Xung quanh VTCB
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{min}\\ \overline{v}_{min} \end{matrix}\right.\) ⇒ Xung quanh VT biên

* Xét S_max:

\(\Delta t_0 = \frac{\alpha .T}{2\pi}\)
S = |x₁ + x₂| với \(\left\{\begin{matrix} \sin \alpha _1 = \frac{|x_1|}{A}\\ \sin \alpha _2 = \frac{|x_2|}{A} \end{matrix}\right.\)
\(\\ \Rightarrow S = A(\sin \alpha _1 + \sin \alpha _2) = 2A\sin \frac{\alpha _1 + \alpha _2}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \\ \Rightarrow S = 2A\sin \frac{\alpha}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{max} = 2A\sin \frac{\alpha}{2}\\ \alpha _1 = \alpha _2 \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow S = 2A\sin \left ( \frac{\pi}{T}. \Delta t_0 \right )\)
* Tổng quát:
Với \(\Delta t > \frac{T}{2}\)
Xét \(\frac{\Delta t}{\frac{T}{2}} = k + \frac{p}{q} \ \ (p < q)\)
\(\\ \Rightarrow \Delta t = \underbrace{ k.\frac{T}{2} }_{k.2A} + \underbrace{ \frac{p}{q}.\frac{T}{2} }_{\Delta t_0 < \frac{T}{2}} \\ \Rightarrow S_{max} = k.2A + 2A. \sin \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right )\)

* Xét S_min:
S = A – |x₁| + A – |x₂| = 2A – (|x₁| + |x₂|)
Với \(\left\{\begin{matrix} \cos \alpha _1 = \frac{|x_1|}{A}\\ \cos \alpha _2 = \frac{|x_2|}{A} \end{matrix}\right.\)

\(\\ \Rightarrow S = 2A - A(\cos \alpha _1 + \cos \alpha _2) = 2A - 2A\cos \frac{\alpha _1 + \alpha _2}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \\ \Rightarrow S = 2A - 2A\cos \frac{\alpha}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{min} = 2A\left [ 1-\cos \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) \right ]\\ \alpha _1 = \alpha _2 \hspace{3,6cm} \end{matrix}\right.\)
* Tổng quát:
Với \(\Delta t > \frac{T}{2}\)
Xét \(\frac{\Delta t}{\frac{T}{2}} = k + \frac{p}{q} \ \ (p < q)\)
\(\\ \Rightarrow \Delta t = \underbrace{ k.\frac{T}{2} }_{k.2A} + \underbrace{ \frac{p}{q}.\frac{T}{2} }_{\Delta t_0} \\ \Rightarrow S_{min} = k.2A + 2A\left [ 1 - \cos\left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) \right ]\)

VD1: Một vật dao động với phương trình: \(x = 5\cos(2\pi t - \frac{\pi}{8})\)(cm).
a. Tìm quãng đường dài nhất, ngắn nhất trong thời gian \(\frac{2}{3}\) s?
b. Tìm tốc độ trung bình lớn nhất trong thời gian \(\frac{5}{3}\) s?
Giải:
\(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 1s \Rightarrow \frac{T}{2} = \frac{1}{2}s\)
a. Xét \(\frac{\Delta T}{\frac{T}{2}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{1} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \Delta t = \frac{T}{2} + \underbrace{ \frac{T}{2}.\frac{1}{3} }_{\frac{T}{6} = \Delta t_0}\)
\(\cdot \ S_{max} = 2A + 2A\sin\left ( \frac{\pi}{T}.\frac{T}{6} \right ) = 3A = 15\ cm\)\(\cdot \ S_{min} = 2A + 2A\left [ 1 - \cos \left ( \frac{\pi}{T}.\frac{T}{6} \right ) \right ]\)
             \(= 4A - 2A.\frac{\sqrt{3}}{2} = 4A - A\sqrt{3} = 20 - 5\sqrt{3} \ (cm)\)
b. \(\left\{\begin{matrix} \Delta t = \frac{5}{3}s\\ \overline{v}_{max}= \ ? \end{matrix}\right.\)
\(\overline{v}_{max} = \frac{S}{\Delta t} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overline{v}_{max}\\ S_{max} \end{matrix}\right.\)
Xét \(\frac{\Delta t}{\frac{T}{2}} = \frac{5}{3}.\frac{2}{1} = 3 + \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \Delta t = 3.\frac{T}{2} + \underbrace{ \frac{1}{3}.\frac{T}{2} }_{\frac{T}{6} = \Delta t_0}\)
\(\Rightarrow S_{max} = 3.2A + 2A.\sin \left ( \frac{\pi}{T}.\frac{T}{6} \right ) = 7A = 35\ cm\)
\(\Rightarrow \overline{v}_{max} = \frac{S_{max}}{\Delta t} = \frac{35}{\frac{5}{3}} = 21 \ \frac{cm}{s}\)

VD2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo 12 cm, trong thời gian \(\frac{1}{3}\)s vật đi được quãng đường nhỏ nhất bằng 30 cm. Tìm tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng?
Giải:
\(\ell = 12\ cm \Rightarrow A = \frac{\ell}{2} = 6 \ cm\)
\(\\ \left\{\begin{matrix} \Delta t = \frac{1}{3}s \hspace{3,5cm}\\ S_{min} = 30\ cm = \underbrace{2.12}_{2.\frac{T}{2}} + \underbrace{6}_{\Delta t_0} \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} S_{min} = 30 = & \underbrace{ 2.2A } & + & \underbrace{ A }\\ & 2.\frac{T}{2} & + & \Delta t_0 & = & \frac{1}{3}s \end{matrix}\)
\(\\ \Rightarrow A = 2A\left [ 1 - \cos \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) \right ] \\ \Rightarrow \cos \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 = \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \Delta t_0 = \frac{T}{3} \\ \Rightarrow T + \frac{T}{3} = \frac{1}{3}s \\ \Rightarrow T = \frac{1}{4}s \\\Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T} = 8\pi \frac{rad}{s}\)
Vậy \(|v| _{max} = \omega A = 8\pi.6 = 48\pi \left (\frac{cm}{s} \right )\)