Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0,\

Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + at\\
y = bt
\end{array} \right.\)

- Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{I_1}\left( {1;1} \right),{R_1} = 1\;.\;\left( {{C_2}} \right):\;{I_2}\left( { - 2;0} \right),{R_2} = 3\), suy ra : \(\left( {{C_1}} \right):\;{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1,\;\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)

- Nếu d cắt \(C_1)\) tại A: \( \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} - 2bt = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0 \to M\\
t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1 + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

- Nếu d cắt \((C_2)\) tại B: \( \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 6at = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0 \to M\\
t =  - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {1 - \frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}; - \frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

- Theo giả thiết: \(MA = 2MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\left( * \right)\)

- Ta có : \({\left( {\frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {\frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4.\frac{{36{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 36{a^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b =  - 6a \to d:6x + y - 6 = 0\\
b = 6a \to d:6x - y - 6 = 0
\end{array} \right.\)