Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+1=0.\) Tìm hình chiếu của đường thẳng d trên \(\left( P \right).\)

Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 2;-1;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;2;0 \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\Rightarrow d//\left( P \right).\)

Do đó, nếu d' là hình chiếu của d trên \(\left( P \right)\) thì d'//d.

Gọi M' là hình chiếu của \(M\left( 1;0;2 \right)\) trên \(\left( P \right)\Rightarrow M'\in d'.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với \(\left( P \right)\Rightarrow M'=\Delta \cap \left( P \right).\)

Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\Delta \) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;0 \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( 1;0;2 \right)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 1;2;0 \right)\) là

\(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2t \\ & z=2 \\ \end{align} \right..\)

\(M'=\Delta \cap \left( P \right)\Rightarrow \) tọa độ điểm M' thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2t\\ z = 2\\ x + 2y + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2t\\ z = 2\\ \left( {1 + t} \right) + 2.2t + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{3}{5}\\ y = - \frac{4}{5}\\ z = 2\\ t = - \frac{2}{5} \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};2} \right).\)

Hình chiếu d' song song với d và đi qua \(M'\left( \frac{3}{5};-\frac{4}{5};2 \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{align} & x=\frac{3}{5}+2t \\ & y=-\frac{4}{5}-t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right..\)