Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - 2 = 0\) (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = 10\sqrt 2 .\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - {m^2} + 2 > 0\; \)\(\Leftrightarrow 2 > 0\;\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\;\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = 10\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)} \right| = 10\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]} \right| = 10\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left| {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]} \right|^2} = 200\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]^2} = 200\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]^2} = 200\\ \Leftrightarrow \left[ {4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2} \right)} \right]{\left[ {4{m^2} - {m^2} + 2} \right]^2} = 200\\ \Leftrightarrow 8{\left( {3{m^2} + 2} \right)^2} = 200\\ \Leftrightarrow {\left( {3{m^2} + 2} \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow 3{m^2} + 2 = 5\;\;\;\left( {do\;\;3{m^2} + 2 > 0\;\;\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} = 1\\ \Leftrightarrow m =  \pm 1.\end{array}\)

Vậy \(m =  \pm 1\) thỏa mãn bài toán.