Tìm \(m\) để \(d\)cắt \((P)\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + 3{x_2} - 4{x_1}{x_2} = 5.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là: \(3x - m + 4 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + m - 4 = 0\;\;(*)\)

Đường  thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\;{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4(m - 4) \ge 0 \Leftrightarrow  - 4m + 25 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{25}}{4}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = m - 4}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có :

 \(\begin{array}{l}{x_1}^2 + 3{x_2} - 4{x_1}{x_2} = 5 \Leftrightarrow {x_1}^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} - 4{x_1}{x_2} = 5\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 4{x_1}{x_2} = 5 \Leftrightarrow {x_1}^2 - 3{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 5\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} = 5 \Leftrightarrow 9 - 5(m - 4) = 5\\ \Leftrightarrow 9 - 5m + 20 = 5 \Leftrightarrow m = \frac{{24}}{5}\;\;(tm).\end{array}\)

Vậy  \(m = \frac{{24}}{5}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.