Tìm bán kính đáy để sản xuất thùng nhớt hình trụ có thể tích 2000 dm^3 tiết kiệm nhiên liệu nhất

Gọi bán kính nắp đậy và chiều cao hình trụ là x và h.

Thể tích khối trụ là: \(2000 = \pi {x^2}h \Rightarrow h = \frac{{2000}}{{\pi {x^2}}}\)  

Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + 2\pi xh = 2\pi {x^2} + 2\pi x.\frac{{2000}}{{\pi {x^2}}} = 2\pi {x^2} + \frac{{4000}}{x}\)  

Xét hàm số

\(\begin{array}{l} f(x) = 2\pi {x^2} + \frac{{4000}}{x},x > 0\\ f'(x) = 4\pi x - \frac{{4000}}{{{x^2}}} = \frac{{4\pi {x^3} - 4000}}{{{x^2}}}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{\pi }}} \end{array}\)   

Lập bảng biển thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{\pi }}}.\)