Nếu chỉ làm một mình thì thời gian để hoàn thành của mỗi nhóm là bao lâu?

Gọi thời gian để nhóm 1 một mình hoàn thành công trình là x (ngày), thời gian để nhóm 2 một mình hoàn thành công trình là y (ngày) \(\left( {x,y > 0} \right)\).

Trong 1 ngày nhóm 1 làm được \(\dfrac{1}{x}\) công trình, nhóm 2 làm được \(\dfrac{1}{y}\) công trình.

Trong 1 ngày cả 2 nhóm làm được \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) công trình.

Do 2 nhóm cùng làm một công trình trong 32 ngày thì xong nên ta có phương trình 

\(32\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

Nếu nhóm 1 làm trong 6 ngày và nhóm 2 làm trong 12 ngày thì xong được 25% công trình nên ta có phương trình

\(\dfrac{6}{x} + \dfrac{{12}}{x} = \dfrac{1}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}32\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\\\dfrac{6}{x} + \dfrac{{12}}{x} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

Đặt \(a = \dfrac{1}{x};\,\,\,b = \dfrac{1}{y}\) ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}32a + 32b = 1\\6a + 12b = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}32a + 32b = 1\\24a + 48b = 1\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a - 16b = 0\\32a + 32b = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\64b + 32b = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\96b = 1\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{48}}\\b = \dfrac{1}{{96}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{48}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{96}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 48\\y = 96\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy thời gian để nhóm 1 một mình hoàn thành công trình là 48 ngày, thời gian để nhóm 2 một mình hoàn thành công trình là 96 ngày.