Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD.\) Diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) là:

Câu hỏi:
Cho hình chóp \(SABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\;\;BC = 2a.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD.\) Diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) là:
- A. \(\frac{{4\pi {a^2}}}{3}\)
- B. \(\frac{{16\pi {a^2}}}{3}\)
- C. \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}\)
- D. \(\frac{{16\pi {a^2}}}{9}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(SAB\).

Qua \(O\) dựng \({d_1}//SH \Rightarrow {d_1} \bot \left( {ABCD} \right)\), qua \(G\) dựng \({d_2}//OH \Rightarrow {d_2} \bot \left( {SAB} \right)\).

Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in {d_1} \Rightarrow IA = IB = IC = ID\\I \in {d_2} \Rightarrow IA = IB = IS\end{array} \right. \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\)

\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HG = \frac{1}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = OI\).

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Áp dụng định Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) ta có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{12}} + \frac{{5{a^2}}}{4}} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3} = R\)

Vậy \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \frac{{4{a^2}}}{3} = \frac{{16\pi {a^2}}}{3}\).

Chọn B.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE