Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(EC = 2ES.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(AE\) và song song với \(BD,\;\left( \alpha \right)\) cắt \(SB,\;SD\) lần lượt tại hai điểm \(M,\;N.\) Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(SAMEN.\)

Câu hỏi:
Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành có thể tích bằng \(V.\) Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(EC = 2ES.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(AE\) và song song với \(BD,\;\left( \alpha \right)\) cắt \(SB,\;SD\) lần lượt tại hai điểm \(M,\;N.\) Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(SAMEN.\)
- A. \(\frac{{3V}}{{16}}\)
- B. \(\frac{V}{6}\)
- C. \(\frac{V}{9}\)
- D. \(\frac{{3V}}{8}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Gọi \(O = AC \cap BD\), trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(I = AE \cap SO\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MN\) qua I sao cho \(MN//BD\,\,\left( {M \in SB,\,\,N \in SD} \right)\) khi đó ta có \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {AMEN} \right)\).

Áp dụng định lí Menelause trong tam giác SOC có:

\(\frac{{IS}}{{IO}}.\frac{{AO}}{{AC}}.\frac{{EC}}{{ES}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{IO}}.\frac{1}{2}.2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{IO}} = 1 \Rightarrow IS = IO \Rightarrow I\) là trung điểm của SO.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{1}{2}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.AME}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{12}}V\\\frac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.ANE}} = \frac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{12}}V\\ \Rightarrow {V_{S.AMEN}} = {V_{S.AME}} + {V_{S.ANE}} = \frac{1}{{12}}V + \frac{1}{{12}}V = \frac{V}{6}\end{array}\).

Chọn B.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE