Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có hình chiếu \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của \(AB,\,ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a,\,\,\angle ABC = {60^0};\,BB'\) tạo với đáy một góc \({30^0}\). Tính thể tích hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) ?

Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có hình chiếu \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của \(AB,\,ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a,\,\,\angle ABC = {60^0};\,BB'\) tạo với đáy một góc \({30^0}\). Tính thể tích hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) ?
- A. \(2{a^3}\)
- B. \({a^3}\sqrt 3 \)
- C. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\)
- D. \({a^3}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(A'H \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\) kẻ \(B'K//A'H\,\,\left( {K \in AH} \right)\) ta có \(B'K \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {BB';\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {BB';BK} \right) = \angle B'BK = {30^0}\).

Dễ thấy \(A'B'KH\) là hình bình hành \(\left( {A'B'//HK,\,\,A'H//B'K} \right) \Rightarrow HK = A'B' = 2a\).

Mà \(BH = \frac{1}{2}AB = a \Rightarrow BK = a\).

Xét tam giác vuông \(B'BK\) ta có : \(B'K = BK.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét \(\Delta ABC\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC\,\,\left( {gt} \right)\\\angle ABC = {60^0}\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(2a\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = 2{a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = B'K.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.2{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}\).

Chọn A.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE