Giá trị lớn nhất của \( A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \)

Điều kiện: 

\(\begin{array}{l} x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\\ \begin{array}{*{20}{l}} {A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) + 10} } \end{array} \end{array}\)

Đặt \( {x^2} + 3x = y\)

Khi đó, A trờ thành

\(\begin{array}{*{20}{l}} {A = \sqrt {y\left( {y + 3} \right) + 10} = \sqrt {{y^2} + 3y + 10} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {{y^2} + 2.y.\frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{{31}}{4}} = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}} } \end{array}\)

Vì \( {\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow {\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\) với mọi y

\( \Rightarrow A = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}} \ge \frac{{\sqrt {31} }}{2}\)

Dấu “=” xảy ra 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y = - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x = - 34 \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 3 = 0 \Leftrightarrow {(2x)^2} + 2.2x.3 + 9 - 6 = \Leftrightarrow {(2x + 3)^2} = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + 3 = \sqrt 6 \\ 2x + 3 = - \sqrt 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{2}\\ x = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

Ta thấy cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện xác định.