Giá trị của tổng \(4 + 44 + 444 + ... + 44...4\) bằng?

Phương pháp giải:

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4\).

Ta có:\(\frac{9}{4}S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9\)\( = \left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + ...\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Suy ra: \(\frac{9}{4}S = \)\(\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}}} \right) - 2018\).

Đặt \(A = 10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\).

Ta có: \(A = 10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\) là tổng \(2018\) số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\), công bội \(q = 10\) nên ta có \(A = {u_1}\frac{{1 - {q^{2018}}}}{{1 - q}}\)\( = 10\frac{{1 - {{10}^{2018}}}}{{ - 9}}\)\( = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9}\).

Do đó \(\frac{9}{4}S = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018\)\( \Leftrightarrow S = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\).

Đáp án B