Trong các HS sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

Phương pháp giải:

Để xét tính chẵn – lẻ của hàm số, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó:

p class="MsoBodyText">- Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu \(D\) không phải tập đối xứng (tức là \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\)) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định \(f\left( { - x} \right)\):

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

- Xét: Hàm số \(y = \cot 4x.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cot \left( { - 4\pi } \right) = - \cot 4\pi = - f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

- Xét: Hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\sin \left( { - x} \right) + 1}}{{\cos \left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \sin x + 1}}{{\cos x}} \ne \left\{ {f\left( x \right), - f\left( x \right)} \right\}\)Hàm số không có tính chẵn, lẻ

- Xét: Hàm số \(y = {\tan ^2}x.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = {\tan ^2}\left( { - x} \right) = {\tan ^2}x = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

- Xét: Hàm số \(y = \left| {\cot x} \right|.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \left| {\cot \left( { - x} \right)} \right| = \left| {\cot x} \right| = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Đáp án A