Có hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) = (x – 8)(x2 – 9), \(\forall x\in R\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(g(x)=f\left( \left| {{x}^{3}}+6x \right|+m \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị

\(\begin{gathered}
  g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right) =  > g'(x) = \left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right)'.\left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right) \hfill \\
   = \frac{{\left( {{x^3} + 6x} \right).\left( {3{x^2} + 6} \right)}}{{\left| {{x^3} + 6x} \right|}}.f'\left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} \)

Ta thấy x = 0 là một điểm giới hạn của hàm số g(x)

Mặt khác \(f'\left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \left| {{x^3} + 6x} \right| + m = 8 \hfill \\
  \left| {{x^3} + 6x} \right| + m = 3 \hfill \\
  \left| {{x^3} + 6x} \right| + m =  - 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \left| {{x^3} + 6x} \right| = 8 - m \hfill \\
  \left| {{x^3} + 6x} \right| = 3 - m \hfill \\
  \left| {{x^3} + 6x} \right| =  - 3 - m \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\)

Xét hs h(x) = x³ +6x, vì h'(x) =  x³ +6x > 0, \(\forall x \in R\) nên h(x) đồng biến trên R. 

Ta có bảng biến thiên của hàm số k(x) = \(\left| {h(x)} \right| = \left| {{x^3} + 6x} \right|\) như sau:

Hàm số \(g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình \(f'\left( {\left| {{x^3} + 6x} \right| + m} \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm khác 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 8 - m > 0  hay m < 8

Kết hợp điều kiện m nguyên dương ta được m \(\in\) {1;2;3;...;7}. Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn

Chọn B