Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân

Mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) theo giao tuyến \(BN\,.\)

Mà \(AG \subset \left( {ABN} \right)\) suy ra \(AG\) cắt \(BN\) tại điểm \({A_1}\,.\)

Qua \(M\) dựng \(MP\)//\(A{A_1}\) với \(M \in BN\,.\)

Có \(M\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(P\) là trung điểm \(B{A_1}\, \Rightarrow \,\,BP = P{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Tam giác \(MNP\) có \(MP\)//\(G{A_1}\) và \(G\) là trung điểm của \(MN\,.\)

\( \Rightarrow \) \({A_1}\) là trung điểm của \(NP\,\, \Rightarrow \,\,P{A_1} = N{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(BP = P{A_1} = {A_1}N\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{B{A_1}}}{{BN}} = \frac{2}{3}\) mà \(N\) là trung điểm của \(CD\,.\)

Do đó, \({A_1}\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\,.\)