Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt góc CAB=alpha và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB

\(\begin{array}{l} \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}} \Rightarrow C{H^2} = AH.HB\\ V = \frac{1}{3}\pi .AH.C{H^2} = \frac{1}{3}\pi .AH.AH.HB \end{array}\)
\(\begin{array}{l} Max(AH.AH.HB) = Max(x.x.(2R - x))\\ \Leftrightarrow Max\frac{{AH}}{2}.\frac{{AH}}{2}.HB = Max\left( {\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {2R - x} \right)} \right) \end{array}\)
Tổng ba số bằng 2R, tích 3 số lớn nhất khi:
\(\frac{x}{2} = 2R - x \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 2R \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}R\)
\(\begin{array}{l} AH = \frac{4}{3}R\\ HB = \frac{2}{3}R\\ \Rightarrow C{H^2} = \frac{4}{3}R.\frac{2}{3}R \Rightarrow CH = \frac{{2R\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
\(\tan \alpha = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)