Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB=8, SA=SB=6

Qua \(O\) kẻ đường thẳng \(\left( d \right)\) song song \(AB\) và cắt \(BC,\,\,AD\) lần lượt tại \(P,\,\,Q.\)

Kẻ \(PN\) song song với \(SB\,\,\,\left( {N \in SB} \right)\), kẻ \(QM\) song song với \(SA\,\,\,\left( {M \in SA} \right).\)

Khi đó \(\left( {MNPQ} \right)\)//\(\left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \) thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là tứ giác \(MNPQ\)

Vì \(P,\,\,Q\) là trung điểm của \(BC,\,\,AD\) suy ra \(N,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SD.\)

Do đó \(MN\) là đường trung bình tam giác \(SCD\)\( \Rightarrow MN = \frac{{CD}}{2} = \frac{{AB}}{2} = 4.\)

Và \(NP = \frac{{SB}}{2} = 3;\,\,\,QM = \frac{{SA}}{2} = 3\,\, \Rightarrow \,\,NP = QM\,\, \Rightarrow \,\,MNPQ\) là hình thang cân.

Hạ \(NH,\,\,MK\) vuông góc với \(PQ\,.\) Ta có \(PH = KQ \Rightarrow PH = \frac{1}{2}\left( {PQ - MN} \right) = 2.\)

Tam giác \(PHN\) vuông, có \(NH = \sqrt 5 .\)

Vậy diện tích hình thang \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = NH.\frac{{PQ + NM}}{2} = 6\sqrt 5 .\)