Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\).Mặt bên SAB là tam giác cân với \(\widehat {ASB} = 120^\circ \) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi H là trung điểm của AB.

Gọi I, J lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) và \(\Delta SAB\).

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(I \in CH\) và \(CH \bot AB\).

\(\Delta SAB\) cân tại S nên \(J \in SH\) và \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}
\end{array}}\\
{SH \subset \left( {SAB} \right)}
\end{array}}\\
{CH \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SH \bot \left( {ABC} \right)}\\
{CH \bot \left( {SAB} \right)}
\end{array}} \right.\).

Trong mặt phẳng (SCH) dựng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{Ix\,{\rm{//}}\,SH}\\
{Jy\,{\rm{//}}\,CH}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{Ix \bot \left( {ABC} \right)}\\
{Jy \bot \left( {SAB} \right)}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow Ix; Jy\) lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) và \(\Delta SAB\).

Trong mặt phẳng (SCH): \(Ix \cap Jy = O \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{O \in Ix}\\
{O \in Jy}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{OA = OB = OC}\\
{OA = OB = OS}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OS\)

\( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có \(OJ = IH = \frac{1}{3}CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin S}} = 2{R_{SAB}} = 2JS \Rightarrow JS = \frac{{AB}}{{2\sin S}} = \frac{a}{{2\sin 120^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: \(R = \sqrt {O{J^2} + S{J^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

\( \Rightarrow\) Thể tích mặt cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \frac{{5\pi \sqrt {15} {a^3}}}{{54}}\).