Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng đường thẳng y=2 cắt đồ thị các hàm số y=a^x, y=b^x và trục tung lần lượt tại A, B, C sao cho C nắm giữa A và B

Tọa độ ba điểm A, B, C lần luợt là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {{{\log }_a}2;2} \right)}\\{B\left( {{{\log }_b}2;2} \right)}\\{C\left( {0;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC = \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}}}\\{BC = \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}}}\\{AB = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|}\end{array}} \right.\)

Vì \(AC = 2BC \Rightarrow \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}} = \frac{2}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}} \Rightarrow \log _2^2b = 4\log _2^2a \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^2}}\\{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = {a^2}}\\{b = {a^{ - 2}}}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)

Mặt khác C nằm giữa A và B \( \Rightarrow AB = AC + BC \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|\left( * \right)\)

Ta có \(\left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \ge \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - \frac{1}{{{{\log }_2}b.{{\log }_2}a}} > 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}b.{\log _2}a < 0\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow b = {a^{ - 2}}\).