Cho bất phương trình ${{9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.3}^{x}}+m>0$$\left( 1 \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm đúng $\forall x\ge 1$

Đặt $t={{3}^{x}}$, $t\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,t=+\infty$$\Rightarrow$ với $x\in \left[ 1;\,+\infty  \right)$, thì $t\in \left[ 3;\,+\infty  \right)$.

Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0$$\left( 2 \right)$

Để $\left( 1 \right)$ có nghiệm đúng $\forall x\ge 1$ thì $\left( 2 \right)$ có nghiệm đúng $\forall t\ge 3$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\ \ \forall t\ge 3$$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t>-m\left( t+1 \right)$$\forall t\ge 3$$\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}>-m$$\forall t\ge 3$$\left( 3 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}$ có ${f}'\left( t \right)=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-t \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}+t-1-{{t}^{2}}+t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$

Với $t\ge 3$, ${{t}^{2}}+2t-1\ge {{3}^{2}}+2.3-1>0$ nên ${f}'\left( t \right)>0$$\forall t\in \left[ 3;\,+\infty  \right)$$\Rightarrow \underset{\left[ 3;\,+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Do đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow -m<\underset{\left[ 3;\,+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow m>-\frac{3}{2}$.