Cho phương trình \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\) với \(a,\,\,b\) là các tham số thực lớn hơn \(1\). Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a+b\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\)

\(\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a{{\log }_{a}}x \right)=2020\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & m={{\log }_{b}}a \\ & t={{\log }_{a}}x \\ \end{align} \right.\)(Do \(a,b>1\Rightarrow m>0\)).

Suy ra: \(\left( 1+t \right)\left( 1+mt \right)=2020\)\(\Leftrightarrow m{{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t-2019=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Xét \(\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4.2019.m\,\,>0\,\Rightarrow m>0\).

Vậy phương trình \(\left( * \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\).

Theo Vi-et ta có: \({{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{m+1}{m}\)\(\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}+{{\log }_{a}}{{x}_{2}}=-\frac{{{\log }_{b}}a+1}{{{\log }_{b}}a}\)

\(\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=-{{\log }_{a}}ab\)\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{ab}\)

Do đó \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\)

\(\Leftrightarrow P\,=\frac{6}{ab}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\)

\(\Leftrightarrow P\,=\left( \frac{6}{ab}+\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b \right)+\left( \frac{1}{3}a+\frac{3}{4a} \right)+\left( \frac{3b}{4}+\frac{12}{b} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: \(P\ge 3+1+6=10\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{3}{2};b=4\). Vậy \(a+b=\frac{11}{2}\).