Cho phương trình ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020$ với $a,\,\,b$ là các tham số thực lớn hơn $1$. Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức $P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020$

$\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a{{\log }_{a}}x \right)=2020$

Đặt $\left\{ \begin{align} & m={{\log }_{b}}a \\ & t={{\log }_{a}}x \\ \end{align} \right.$(Do $a,b>1\Rightarrow m>0$).

Suy ra: $\left( 1+t \right)\left( 1+mt \right)=2020$$\Leftrightarrow m{{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t-2019=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Xét $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4.2019.m\,\,>0\,\Rightarrow m>0$.

Vậy phương trình $\left( * \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.

Theo Vi-et ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{m+1}{m}$$\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}+{{\log }_{a}}{{x}_{2}}=-\frac{{{\log }_{b}}a+1}{{{\log }_{b}}a}$

$\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=-{{\log }_{a}}ab$$\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{ab}$

Do đó $P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)$

$\Leftrightarrow P\,=\frac{6}{ab}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)$

$\Leftrightarrow P\,=\left( \frac{6}{ab}+\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b \right)+\left( \frac{1}{3}a+\frac{3}{4a} \right)+\left( \frac{3b}{4}+\frac{12}{b} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: $P\ge 3+1+6=10$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{2};b=4$. Vậy $a+b=\frac{11}{2}$.