Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\) và hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.

Câu hỏi:
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,AC = a\sqrt 2 \). Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\) và hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.
- A. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)
- B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\)
- C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)
- D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(H,A\) lên \(BC\).

Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}HD \bot BC\\A'H \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'HD} \right) \bot BC \Rightarrow A'D \bot BC\).

Khi đó \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(A'D\) và \(HD\) hay \(\angle A'DH = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(AB \bot AC \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Nên \(AE = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) suy ra \(HD = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Từ đó \(A'H = HD.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{1}{2}AB.AC.A'H = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

Chọn B.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE