AMBIENT
  • Câu hỏi:

    a) Chứng minh \({\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right) = \frac{3}{2}\)

    b) Giải bất phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 12x + 5}  \le \sqrt {{x^3} - 1}  + \sqrt {{x^2} - 2x} \)

    Lời giải tham khảo:

    Ta có: \({\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\)

    \(\begin{array}{l}
     = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right) + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\
     = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\
     = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + 2\cos 2x\cos \frac{{4\pi }}{3}} \right]\\
     = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + 2\cos \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]\\
     = \frac{3}{2}
    \end{array}\)

    b) Điều kiện: \(x \ge \frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}\)

    Bất phương trình đã cho tương đương với:

    \(\begin{array}{l}
    3{x^2} - 12x + 5 \le {x^3} + {x^2} - 2x - 1 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)x\left( {x - 2} \right)} \\
     \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 10x - 6 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} .\sqrt {\left( {{x^2} + x + 1} \right)}  \ge 0\\
     \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {x^2} + x} \right) - 3\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 3x + 2} .\sqrt {{x^3} + {x^2} + x}  \ge 0\\
     \Leftrightarrow 1 - 3.\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} + {x^2} + x}} + 2\sqrt {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} + {x^2} + x}}}  \ge 0\,\,\left( * \right)
    \end{array}\)

    Đặt \(\sqrt {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} + {x^2} + x}}}  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) thì 

    \(\begin{array}{l}
    \left( * \right) \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} + 2t \ge 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} \le t \le 1 \Rightarrow t \le 1\\
     \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le {x^3} + {x^2} + x \Leftrightarrow {x^3} + 4x + 2 \ge 0\left( 1 \right)
    \end{array}\)

    Nhận thấy (1) nghiệm đúng với mọi \(x \ge \frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}\)

    Vậy \(S = \left[ {\frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}; + \infty } \right)\)

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA