AMBIENT
• Câu hỏi:

a) Chứng minh $${\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right) = \frac{3}{2}$$

b) Giải bất phương trình $$\sqrt {3{x^2} - 12x + 5} \le \sqrt {{x^3} - 1} + \sqrt {{x^2} - 2x}$$

Lời giải tham khảo:

Ta có: $${\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)$$

$$\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right) + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + 2\cos 2x\cos \frac{{4\pi }}{3}} \right]\\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + 2\cos \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{3}{2} \end{array}$$

b) Điều kiện: $$x \ge \frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}$$

Bất phương trình đã cho tương đương với:

$$\begin{array}{l} 3{x^2} - 12x + 5 \le {x^3} + {x^2} - 2x - 1 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)x\left( {x - 2} \right)} \\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 10x - 6 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} .\sqrt {\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {x^2} + x} \right) - 3\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 3x + 2} .\sqrt {{x^3} + {x^2} + x} \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - 3.\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} + {x^2} + x}} + 2\sqrt {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} + {x^2} + x}}} \ge 0\,\,\left( * \right) \end{array}$$

Đặt $$\sqrt {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} + {x^2} + x}}} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$$ thì

$$\begin{array}{l} \left( * \right) \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} + 2t \ge 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le t \le 1 \Rightarrow t \le 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le {x^3} + {x^2} + x \Leftrightarrow {x^3} + 4x + 2 \ge 0\left( 1 \right) \end{array}$$

Nhận thấy (1) nghiệm đúng với mọi $$x \ge \frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}$$

Vậy $$S = \left[ {\frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}; + \infty } \right)$$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

• ### Đề thi HK2 môn Toán 10 Trường PTDTNT Tây Nguyên năm 2018

34 câu hỏi | 90 phút

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

YOMEDIA