1. Lý thuyết
Hàm số y = f(x) đồng biến trên R thì f(x) > f(b) ⇒ a > b
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên R thì f(x) > f(b) ⇒ a < b

2. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình  \(3\sqrt{3-2x}+\frac{5}{\sqrt{2x-1}}-2x\leq 6\)
Giải
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 3-2x\geq 0\\ 2x-1> 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq \frac{3}{2}\\ x>\frac{1}{2} \end{matrix}\right .\Rightarrow \frac{1}{2} Xét \(f(x)=3\sqrt{3-2x}+\frac{5}{2x-1}-2x-6\) trên \(\bigg(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\bigg ]\)
\(f'(x)=\frac{3(3-2x)'}{2\sqrt{3-2x}}-\frac{5(\sqrt{2x-1})'}{2x-1}-2\)
\(f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{3-2x}}-\frac{5}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}-2<0\)
f(x) nghịch biến trên \(\bigg(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\bigg ]\)
BPT \(\Leftrightarrow f(x)\leq f(1)\)
Vậy tập nghiệm là \(\left [ 1;\frac{3}{2} \right ]\)
VD2: Giải bất phương trình \(\sqrt{x^2+15}>3x-2+\sqrt{x^2+8}\)
Giải
TH1: \(3x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{2}{3}\)
lại có \(\sqrt{x+8}<\sqrt{x^3+15}, \ \forall x\leqslant \frac{2}{3}\)
suy ra \(3x-2+\sqrt{x^2+8}<\sqrt{x^2+15}\)
BPT nghiệm đúng 
TH2: \(x>\frac{2}{3}\)
Xét \(f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2\) trên \((\frac{3}{2};+\infty )\)
\(f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+15}}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+8}}-3\)
\(=x\left (\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}} \right )-3<0\)
f(x) nghịch biến trên \((\frac{3}{2};+\infty )\)
BPT \(f(x)>f(1)=0\)
KL: Tập nghiệm bpt là \((-\infty ;1)\)
VD3: Giải bất phương trình \(8x^3+2x\geq (x+2)\sqrt{x+1}\)
Giải
ĐK: \(x\geq -1\)
BPT \(x\Leftrightarrow 8x^3+2x\geq (x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
Xét \(f(t)= t^3+t\) trên R
\(f'(t)= 3t^2+1>0\Rightarrow f(t)\)
\((1)\Leftrightarrow f(2x)\geq f(\sqrt{x+1})\)
Suy ra \(2x\geq \sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ 2x\geq 0\\ 4x^2\geq x+1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x\geq 0\\ 4x^2-x-1\geq0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x\geq \frac{1+\sqrt{17}}{8}\) (thỏa mãn đk)
KL: Tập nghiệm pt \(\bigg[x\geq \frac{1+\sqrt{17}}{8};+\infty \bigg)\)
VD4: Giải bất phương trình  \((2x+1)(2+\sqrt{4x^2+4x+4})+3x(2+\sqrt{9x^2+3})\leq 0\)
Giải
BPT \(\Leftrightarrow (2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})\leq 3x(2+\sqrt{(-3x)^2+3})\) (1)
Xét \(f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3})\) trên R

\(f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+t.\frac{2t}{2\sqrt{t^2+3}}\)
\(f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}}>0\)
f(t) đồng biến trên R
\((1)\Leftrightarrow f(2x+1)\leq f(-3x)\)
Suy ra \(2x+1\leq -3x\)
\(\Leftrightarrow 5x\leq -1\)
\(\Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm bpt là \(\bigg(+\infty ; -\frac{1}{5} \bigg]\)