Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D)

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ như sau:

\(\begin{array}{l} A\left( {0;0;0} \right)\,\,B\left( {1;0;0} \right)\,\,C\left( {1;1;0} \right)\,\,D\left( {0;1;0} \right)\\ A'\left( {0;0;1} \right)\,\,B'\left( {1;0;1} \right)\,\,C'\left( {1;1;1} \right)\,\,D'\left( {0;1;1} \right) \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB'} = \left( {1;0;1} \right),\,\,\overrightarrow {AD'} = \left( {0;1;1} \right),\\ \overrightarrow {BD} = \left( { - 1;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {BC'} = \left( {0;1;1} \right) \end{array}\)

* Mặt phẳng (AB’D’) qua A(0;0;0) và nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB'} ;\,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình (AB’D’) là: \(x + y - z = 0.\) 

* Mặt phẳng (BC’D) qua B(1;0;0) và nhận vectơ \(\vec m = \left[ {\overrightarrow {BD} ;\,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm véctơ pháp tuyến.

Phương trình (AB’D’) là: \(x + y - z - 1 = 0.\) 

 Suy ra hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BC’D): \(d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)