Phương pháp tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân

a) CSC – Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức

\({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n}{2}\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)=\frac{n}{2}\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]\).

b) CSN – Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức

\({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}={{u}_{1}}\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}\).

Ví dụ 1: Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn \({u_2} = 6\), \({u_4} = 24\). Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

Ⓐ. \({{3.2}^{12}}-3\). 

Ⓑ. \({{2}^{12}}-1\).    

Ⓒ. \({{3.2}^{12}}-1\). 

Ⓓ. \({3.2^{12}}\).

Lời giải

Chọn  A

Gọi công bội của CSN bằng \(q\).

Suy ra \({u_4} = {u_2}.{q^2} \Rightarrow q =  \pm 2\).

Do CSN có các số hạng không âm nên \(q = 2\).

Từ đó ta có \({u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 3\)

\({S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 – {q^{12}}}}{{1 – q}}  = 3.\frac{{1 – {2^{12}}}}{{1 – 2}}  = 3\left( {{2^{12}} – 1} \right)\).

Ví dụ 2: Một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công bội \(q = 2\). Biết \({S_n} = 765\). Tìm \(n\)?

Ⓐ.  \(n = 8\).                              

Ⓑ. \(n = 9\).                   

Ⓒ. \(n = 6\).                    

Ⓓ. \(n = 7\).

Lời giải

Chọn  A

Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{3.\left( {1 – {2^n}} \right)}}{{1 – 2}} = 765  \Leftrightarrow n = 8\).

Ví dụ 3: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 4\). Biết tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({S_n} = 253\). Tìm \(n\).

Ⓐ. \(9\).                        

Ⓑ. \(11\).                               

Ⓒ. \(12\).                        

Ⓓ. \(10\). 

Lời giải

Chọn B

Ta có

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n – 1} \right).4} \right)}}{2} = 253  \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n – 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n =  – \frac{{23}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow n = 11\).

Câu 1: Có bao nhiêu số thực dương \(a\) để \(3\) số \(1 + 3a,{a^2} – 5,1 – a\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng?

A. \(2\) 

B. \(3\) 

C. \(1\) 

D. \(0\)

Câu 2: Biết bốn số \(5; x; 15;y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức \(3x + 2y\) bằng.

A. \(50\). 

B. \(70\). 

C. \(30\). 

D. \(80\).

Câu 3: Cho cấp số cộng \(({u_n})\), có \({u_1} = \frac{1}{4}\), \(d = – \frac{1}{4}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

A. \({S_5} = – \frac{9}{4}\).

B. \({S_5} = – \frac{3}{4}\). 

C. \({S_5} = – \frac{{15}}{4}\).

D. \({S_5} = – \frac{5}{4}\).

Câu 4: Cho dãy số: \( – 1;1; – 1;1…\) khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân 

B. Số hạng tổng quát \({u_n} = {1^n} = 1\)

C. Dãy số này là cấp số nhân có \({u_1} = – 1;q = – 1\) 

D. Số hạng tổng quát \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^{2n}}\).

Câu 5: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:

A. \(1;{\rm{ }}0,2;{\rm{ }}0,04;{\rm{ 0,0008; }}…\) 

B. \(2;{\rm{ 22}};{\rm{ 222}};2222{\rm{; }}…\)

C. \(x;{\rm{ }}2x;{\rm{ }}3x;{\rm{ }}4x{\rm{; }}…\) 

D. \(1;{\rm{ }} – {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} – {x^6}{\rm{; }}…\)

Câu 6: Cho dãy số: \( – 1; – 1; – 1; – 1;…\)… Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. 

B. Là cấp số nhân có \({u_1} = – 1;{\rm{ q = 1}}{\rm{.}}\)

C. Số hạng tổng quát \({u_n} = {( – 1)^n}.\) 

D. Là dãy số giảm.

Câu 7: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}

{u_1} = – 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{ – 1}}{{10}}.{u_n}\end{array} \right.\). Chọn hệ thức đúng:

A. \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = – \frac{1}{{10}}.\) 

B. \({u_n} = ( – 2)\frac{1}{{{{10}^{n – 1}}}}.\)

C. \({u_n} = \frac{{{u_{n – 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\) \(\left( {n \ge 2} \right)\). 

D. \({u_n} = \sqrt {{u_{n – 1}}.{u_{n + 1}}} \) \(\left( {n \ge 2} \right)\).

Câu 8: Cho dãy số: \(1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{8}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}};{\rm{ }}…\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số này là cấp số nhân có \({u_1} = 1;q = \frac{1}{2}\). 

B. Số hạng tổng quát un = \(\frac{1}{{{2^{n – 1}}}}\).

C. Số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\). 

D. Dãy số này là dãy số giảm.

Câu 9: \({u_n}\) được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?

A. \({u_n} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\). 

B. \({u_n} = {n^2} – \frac{1}{2}\). 

C. \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} – 1\). 

D. \({u_n} = {n^2} + \frac{1}{2}\).

Câu 10: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:

A. Cấp số nhân: \( – 2;{\rm{ }} – 2,3{\rm{; }} – 2,9;{\rm{ }}…\) có \({u_6} = \left( { – 2} \right){\left( { – \frac{1}{3}} \right)^5}.\)

B. Cấp số nhân: \(2;{\rm{ }} – 6{\rm{; 18}};{\rm{ }}…\)có \({u_6} = 2.{\left( { – 3} \right)^6}.\)

C. Cấp số nhân: \( – 1;{\rm{ }} – \sqrt 2 {\rm{; }} – 2;{\rm{ }}…\) có \({u_6} = – 2\sqrt 2 .\)

D. Cấp số nhân: \( – 1;{\rm{ }} – \sqrt 2 {\rm{; }} – 2;{\rm{ }}…\) có \({u_6} = – 4\sqrt 2 .\)

ĐÁP ÁN

1.A

2.B

3.D

4.C

5.D

6.B

7.A

8.C

9.A

10.D

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp nhận dạng CSC - CSN - số hạng tổng quát - số hạng thứ n - công bội - công sai

Chúc các em học tập tốt!