Phương pháp giải phương trình đẳng cấp với sin và cos

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin²x + b sinx.cosx + c cos²x = d (1)

Cách 1:

• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx = 0 \(\Leftrightarrow \,\,x=\frac{\pi }{2}+k\pi \,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,{{\sin }^{2}}x\,\,=1\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\sin x\,\,=\,\pm 1.\,\)

• Khi \(\cos x\,\,\ne \,\,0\), chia hai vế phương trình (1) cho \({{\cos }^{2}}x\,\,\ne 0\) ta được:

\(a.{{\tan }^{2}}x+b.\tan x+c\,\,=\,\,d(1+{{\tan }^{2}}x)\)

• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

\((a-d){{t}^{2}}+b.t+c-d\,\,=\,\,0\)

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

\((1)\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,a.\frac{1-\cos 2x}{2}+b.\frac{\sin 2x}{2}+c.\frac{1+\cos 2x}{2}\,\,\,=\,\,\,d\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,b.\sin 2x+(c-a).\cos 2x\,\,=\,\,2d-a-c\) (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

Ví dụ: Phương trình \(6{{\sin }^{2}}x+7\sqrt{3}\sin 2x-8{{\cos }^{2}}x=6\) có các nghiệm là:

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).       

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\ x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

TH1: \(\cos x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1\) thỏa phương trình \(\Rightarrow \) phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \)

TH2: \(\cos x\ne 0,\) chia cả hai vế cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được \(6{{\tan }^{2}}x+14\sqrt{3}\tan x-8=\frac{6}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow 6{{\tan }^{2}}x+14\sqrt{3}\tan x-8=6\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\)

\(\Leftrightarrow 14\sqrt{3}\tan x=14\Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi \)

Vậy, phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{\pi }{6}+k\pi .\)

Câu 1: Giải phương trình \(2{{\cos }^{2}}x+6\sin x\cos x+6{{\sin }^{2}}x=1\)

A. \(x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\arctan \left( -\frac{1}{5} \right)+k2\pi \)         

B. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{2}{3}\pi ;x=\arctan \left( -\frac{1}{5} \right)+k\frac{2}{3}\pi \)

C. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{1}{4}\pi ;x=\arctan \left( -\frac{1}{5} \right)+k\frac{1}{4}\pi \) 

D. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left( -\frac{1}{5} \right)+k\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Phương trình \(\Leftrightarrow 5{{\sin }^{2}}x+6\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x=0\)

Giải ra ta được \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left( -\frac{1}{5} \right)+k\pi \).

Câu 2: Phương trình \(\left( \sqrt{3}+1 \right){{\sin }^{2}}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\left( \sqrt{3}-1 \right){{\cos }^{2}}x=0\) có các nghiệm là:

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \quad \end{array} \right.\left( {{\rm{tan}}\alpha = - 2 + \sqrt 3 } \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \quad \end{array} \right.\left( {\tan \alpha = 2 - \sqrt 3 } \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \quad \end{array} \right.\left( {\tan \alpha = - 1 + \sqrt 3 } \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \quad \end{array} \right.\left( {\tan \alpha = 1 - \sqrt 3 } \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

TH1: \(\cos x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1\) không thỏa phương trình.

TH2: \(\cos x\ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được:

\(\left( {\sqrt 3 + 1} \right){\tan ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x + \sqrt 3 - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 3: Giải phương trình \(3{{\sin }^{2}}2x-2\sin 2x\cos 2x-4{{\cos }^{2}}2x=2.\)

A. \(x=\frac{1}{2}\arctan 3+\frac{k\pi }{2},x=\frac{1}{2}\arctan (-2)+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.\)

B. \(x=\arctan \frac{1+\sqrt{73}}{12}+\frac{k\pi }{2},x=\arctan \frac{1-\sqrt{73}}{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.\)

C. \(x=\frac{1}{2}\arctan \frac{1+\sqrt{73}}{6}+\frac{k\pi }{2},x=\frac{1}{2}\arctan \frac{1-\sqrt{73}}{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.\)

D. \(x=\arctan \frac{3}{2}+\frac{k\pi }{2},x=\arctan (-1)+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

TH1: \(\cos 2x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=1\) không thỏa phương trình.

TH2: \(\cos 2x\ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình cho \({{\cos }^{2}}2x\) ta được:

\(3{{\tan }^{2}}2x-2\tan 2x-4=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}\Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}2x-2\tan 2x-4=2\left( 1+{{\tan }^{2}}2x \right)\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan 2x = 3\\ \tan 2x = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\arctan 3 + \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{1}{2}\arctan ( - 2) + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\)

Câu 4: Phương trình \(2{{\sin }^{2}}x+\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=0\) có nghiệm là:

A. \(\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).              

B. \(\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{arctan}\left( \frac{\text{1}}{\text{2}} \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{arctan}\left( \frac{\text{1}}{\text{2}} \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).        

D. \(-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{arctan}\left( \frac{\text{1}}{\text{2}} \right)+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

TH1: \(\cos x=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1\) không thỏa phương trình.

TH2: \(\cos x\ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được:

\(2{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = - 1\\ \tan x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình \(2{{\sin }^{2}}x-5\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=-2\) là

A. \(\frac{\pi }{6}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).         

B. \(-\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\). 

C. \(\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(-\frac{\pi }{6}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được 

\(\begin{array}{l} 2{\tan ^2}x - 5\tan x - 1 = - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 4{\tan ^2}x - 5\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = \frac{1}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \frac{1}{4} + k\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình \(2\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+6\sin x\cos x=3+\sqrt{3}\) là

A. \(\frac{3\pi }{4}+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).   

B. \(\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).  

C. \(-\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).                     

D. \(-\frac{\pi }{4}+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(2\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+6\sin x\cos x=3+\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{3}\left( 1+\cos 2x \right)+3\sin 2x=3+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos 2x+3\sin 2x=3\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình \(-3\sin x\cos x+{{\sin }^{2}}x=2\) là

A. \(\arctan \left( -2 \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).  

B. \(\frac{1}{2}\arctan \left( -2 \right)+k\frac{\pi }{2}\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(-\frac{1}{2}\arctan \left( -2 \right)+k\frac{\pi }{2}\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(\arctan \left( 2 \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được \(-3\tan x+{{\tan }^{2}}x=2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+3\tan x+2=0\)  

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = - 1\\ \tan x = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình \(2{{\sin }^{2}}x+\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\) là

A. \(\arctan \left( -\frac{3}{2} \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\). 

B. \(-\arctan \left( -\frac{3}{2} \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\arctan \left( \frac{3}{2} \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).                     

D. \(-\arctan \left( \frac{3}{2} \right)+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được

\(2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = - \frac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình \(3{{\sin }^{2}}x-4\sin x\cos x+5{{\cos }^{2}}x=2\) là

A. \(-\frac{\pi }{4}+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).      

B. \(\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).  

C. \(-\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).                     

D. \(\frac{3\pi }{4}+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được

\(3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+5=2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-4\tan x+3=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 10: Phương trình :\({{\sin }^{2}}x-(\sqrt{3}+1)\sin x\cos x+\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x=0\) có họ nghiệm là

A. \(-\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).            

B. \(\frac{3\pi }{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\pm \)\(\frac{\pi }{3}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(\frac{\pi }{4}+k\pi \), \(\frac{\pi }{3}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta được

\({\tan ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\)

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải phương trình đẳng cấp với sin và cos. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải phương trình bậc nhất với sin và cos

• Phương trình quy về bậc nhất với sin và cosin

Chúc các em học tập tốt!