Phương pháp giải phương trình bậc nhất với sin và cos

a sinx + b cosx = c (1)

Cách 1:

• Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\) ta được:

(1) ⇔ \(\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x\,\,+\,\,\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x\,\,=\,\,\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

• Đặt: \(\sin \alpha \,\,=\,\,\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}},\,\,\cos \alpha \,\,=\,\,\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\,\,\,\,\left( \alpha \,\,\in \,\,\left[ 0,\,\,2\pi  \right] \right)\)

Phương trình trở thành:  \(\sin \alpha .\sin x\,+\cos \alpha .\cos x\,\,=\,\,\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

                                      \(\Leftrightarrow \,\,\cos (x-\alpha )\,\,=\,\,\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\,\,=\,\,\cos \beta \,\,\,\,(2)\)

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

\(\left| \frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|\,\,\le \,\,1\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\,\,\ge \,\,{{c}^{2}}.\)

• (2) \(\Leftrightarrow \,\,x\,\,=\,\,\alpha \,\pm \beta +k2\pi \,\,\,\,\,(k\in \,\,Z)\)

Lưu ý:

\(\bullet \) \(\sin x\pm \sqrt{3}\cos x=2\left[ \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right]=2\sin (x-\frac{\pi }{3})\)

\(\bullet \) \(\sqrt{3}\sin x\pm \cos x=2\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\pm \frac{1}{2}\cos x \right]=2\sin (x\pm \frac{\pi }{6})\)

\(\bullet \) \(\sin x\pm \cos x=\sqrt{2}\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right]=\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\pi }{4})\).

Cách 2:

a)  Xét \(x\,\,=\,\,\pi +k2\pi \,\,\Leftrightarrow \,\,\,\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \) có là nghiệm hay không?

b)  Xét \(x\ne \pi +k2\pi \,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\cos \frac{x}{2}\ne 0.\)

Đặt: \(t=\tan \frac{x}{2},\,\,\,thay\,\,\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\,\,\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}},\) ta được phương trình bậc hai theo t: \((b+c){{t}^{2}}-2at+c-b\,\,=\,\,0\,\,\,\,\,(3)\)

Vì \(x\ne \pi +k2\pi \,\,\,\Leftrightarrow \,\,b+c\ne 0,\) nên (3) có nghiệm khi:

\(\Delta '\,\,=\,\,{{a}^{2}}-({{c}^{2}}-{{b}^{2}})\,\,\ge \,\,0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\,\,\ge \,\,{{c}^{2}}.\)

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: \(\tan \frac{x}{2}\,\,=\,\,{{t}_{0}}.\)

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình \(\cos x+\sin x=1\) là:

A. \(x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).   

B. \(x=k\pi ;x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \).                    

C. \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=k2\pi \). 

D. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=k\pi \).                                      

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(\cos x+\sin x=1\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).

Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình \(\cos x+\sin x=-1\) là:

A. \(x=\pi +k2\pi ;x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \).                 

B. \(x=\pi +k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).   

C. \(x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ;x=k2\pi \).  

D. \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=k\pi \).                                      

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\(\cos x+\sin x=-1\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).

Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=~\sqrt{2}\) là:

A. \(x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \). 

B. \(x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \).

C. \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \). 

D. \(x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=-\frac{5\pi }{4}+k2\pi \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(\sin x+\sqrt{3}\cos x=~\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\sin x+\sin \frac{\pi }{3}.\cos x=\sin \frac{\pi }{4}\) 

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).

Câu 1: Nghiệm của phương trình \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\) là:

A. \(x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \).   

B. \(x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \).

C. \(x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \).

D. \(x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \,\,\,\,,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Câu 2: Phương trình \(\left( \sqrt{3}-1 \right)\sin x-\left( \sqrt{3}+1 \right)\cos x+\sqrt{3}-1=0\) có các nghiệm là

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\(,k\in \mathbb{Z}\).  

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\).       

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{9} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\). 

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{8} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có \(\tan \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\). Chia hai vế PT cho \(\sqrt{3}-1\) được

PT: \(\sin x-\tan \frac{5\pi }{12}.\cos x+1=0\)

⇔ \(\sin x.\cos \frac{5\pi }{12}-\cos x.\sin \frac{5\pi }{12}+\cos \frac{5\pi }{12}=0\)

⇔ \(\sin \left( x-\frac{5\pi }{12} \right)=-\cos \frac{5\pi }{12}\)

⇔ \(\sin \left( x-\frac{5\pi }{12} \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{12} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l} x - \frac{{5\pi }}{{12}} = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x - \frac{{5\pi }}{{12}} = \pi + \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\), \((k\in \mathbb{Z})\)

Câu 3: Nghiệm của phương trình \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}\) là

A. \(x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\,x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).       

B. \(x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi ,\,x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).

C. \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\,x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).        

D. \(x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\,x=-\frac{5\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chia hai vế PT cho 2 ta được \(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)⇔\(\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\), \((k\in \mathbb{Z})\)

Câu 4: Nghiệm của phương trình \(\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=0\) là

A. \(x=\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\).

B. \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\).                       

C. \(x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\).          

D. \(x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Chia hai vế PT cho 2 ta được \(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=0\) Û\(\sin \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\)⇔\(2x-\frac{\pi }{3}=k\pi \)⇔\(x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\) \((k\in \mathbb{Z})\)

Câu 5: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:\(\sin x+\cos x=1\).

A. \(x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\). 

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\).       

C. \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Phương trình đã cho tương đương với \(\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

Câu 6: Phương trình: \(\sqrt{3}.\sin 3\text{x}+\cos 3\text{x}=-1\) tương đương với phương trình nào sau đây:

A. \(\sin \left( 3\text{x}-\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1}{2}\)  

B. \(\sin \left( 3\text{x}+\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{\pi }{6}\) 

C. \(\sin \left( 3\text{x}+\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1}{2}\)

D. \(\sin \left( 3\text{x}+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(\sqrt{3}\sin 3\text{x}+\cos 3\text{x}=-1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x+\frac{1}{2}\cos 3x=-\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow \sin \left( 3\text{x}+\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1}{2}\)

Câu 7: Phương trình \(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1\) có nghiệm là

A. \(x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).           

B. \(x=\frac{5}{6}\pi +k\pi ,k\in \mathbb{Z}\).

C. \(x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).            

D. \(x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=1\)\(\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=1\) 

 \(\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \) \((k\in \mathbb{Z})\)

Câu 8: Phương trình \(3\cos x+2|\sin x|=2\) có nghiệm là:

A. \(x=\frac{\pi }{8}+k\pi \).     

B. \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi \).  

C. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi \). 

D. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(3\cos x+2|\sin x|=2\Leftrightarrow 2|\sin x|=2-3\cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{\sin ^2}x = 4 - 12\cos x + 9{\cos ^2}x\\ \cos x \le \frac{2}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 4 - 12\cos x + 9{\cos ^2}x\\ \cos x \le \frac{2}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 13{\cos ^2}x - 12\cos x = 0\\ \cos x \le \frac{2}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = \frac{{12}}{{13}}(L) \end{array} \right. \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

Câu 9: Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \((m+1)\sin x+\cos x=\sqrt{5}\) có nghiệm.

A. \(-3\le m\le 1\).             

B. \(0\le m\le 2\).               

C. \(\left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m \le - 3 \end{array} \right.\).                      

D. \(-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :

\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}+1\ge 5\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 1 \ge 2\\ m + 1 \le - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m \le - 3 \end{array} \right.\).

Câu 10: Điều kiện để phương trình \(m\sin x-3\cos x=5\) có nghiệm là :

A. \(m\ge 4\).                    

B. \(-4\le m\le 4\).             

C. \(m\ge \sqrt{34}\).       

D. \(\left[ \begin{array}{l} m \le - 4\\ m \ge 4 \end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :

\({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow {m^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {m^2} \ge 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ge 4\\ m \le - 4 \end{array} \right.\).

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải phương trình bậc nhất với sin và cos. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

• Phương trình quy về bậc nhất với sin và cosin

• Phương pháp giải phương trình cosx = a

Chúc các em học tập tốt!