Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 2 Luyện tập (trang 63, 64)

Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời ?

Hướng dẫn giải:

Bài thi có 4¹⁰ = 1048576 phương án trả lời.

---

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?

Hướng dẫn giải:

Một số có 6 chữ số và chia hết cho 5 có dạng \(\overline {abcdeg} \)

+ a có 9 cách chọn,

+ g có hai cách chọn

+ b, c, d, e mỗi chữ số có 10 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có : 9.10⁴.2=180000 số.

---

Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G, trong đó số viết trên một cạch cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở haiđầu mút của cạnh (h. 2.2). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ?

Hướng dẫn giải:

Có 4 phương án đi qua các tỉnh A đến G là :

a. A → B → D → E → G

b. A → B → D → F → G

c. A → C → D → E → G

d. A → C → D → F → G

Theo quy tắc nhân, ta có:

Phương án a có 2.3.2.5=60 cách đi;

Phương án b có 2.3.2.2=24 cách đi;

Phương án c có 3.4.2.5=120 cách đi;

Phương án d có 3.4.2.2=48 cách đi.

Theo quy tắc cộng, ta có  60+24+120+48 = 252 cách đi từ A đến G.

---

Xét hồ sơ mạng điện ở hình 2.3 có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở.

Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q) ?

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách đóng mở công tác của mạng điện được gọi là một trạng thái của mạng điện. Theo quy tắc nhân, mạng điện có 2⁶ = 64 trạng thái. Trước hết, ta tìm xem có bao nhiêu trạng thái không thông mạch (không có dòng điện đi qua). Mạch gồm hai nhánh A → B và C → D. Trạng thái không thông mạch xảy ra khi và chỉ khi cả hai nhánh A → B và C → D đều không thông mạch. Dễ thấy nhánh A → B có 8 trạng thái trong đó chỉ có duy nhất một trạng thái thông mạch, còn lại có 7 trạng thái không thông mạch. Tương tự ở nhánh C → D có 7 trạng thái không thông mạch. Theo quy tắc nhân, ta có 7.7 = 49 trạng thái mà cả A → B và C → D đều không thông mạch. Vậy điện có 64–49 = 15 trạng thái thông mạch từ P tới Q.

---

Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau.

a. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

b. Nếu kết qủa của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Số cách chọn ra 4 người điểm cao nhất trong 15 người tham dự là số tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là \(C_{15}^4 = 1365\)

Câu b:

Số cách chọn ra 3 giải nhất, nhì, ba là số chỉnh hợp chập 3 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là  \(A_{15}^4 = 2730\)

---

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có bốn giải : 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi :

a. Có bao nhiêu kết quả có thể ?

b. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ?

c. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Có \(A_{100}^4 = 94109400\) kết quả có thể.

Câu b:

Nếu giải nhất đã xác định thì ba giải nhì, ba, tư sẽ rơi vào 99 người còn lại.

Vậy có \(A_{99}^3 = 941094\) kết quả có thể.

Câu c:

Người giữ vé số 47 có 4 khả năng trúng 1 trong 4 giải. Sau khi xác định giải của người này thì 3 giải còn lại sẽ rơi vào 99 người không giữ vé số 47. Vậy có \(A_{99}^3\) khả năng. Theo quy tắc nhân, Ta có \(4.A_{99}^3 = 3764376\) kết quả có thể.

---

Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn, phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn 5 em trong 10 em là \(C_{10}^5\). Số cách chọn 5 em toàn nam là \(C_{8}^5\).

Do đó số cách chọn ít nhất một nữ là \(C_{10}^5 - C_8^5 = 196\).

---

Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn 5 em toàn nam là \(C_7^5\). Số cách chọn 4 nam và 1 nữ là \(C_7^4.C_3^1\)

Vậy đáp số bài toán là \(C_7^5+C_7^4.C_3^1=126\).

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 2 Luyện tập (trang 63, 64) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.