Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 1 Bài 6 Phép vị tự

Các phép sau đây có phải là phép vị tự hay không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác \(\vec 0\)

Hướng dẫn giải:

Phép đối xứng tâm qua O là phép vị tự tâm O tỉ số -1

Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vì các đường thẳng nối cặp điểm tương ứng không đồng quy

Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm là điểm bất kì và tỉ số k = 1

Phép tịnh tiến theo vecto khác \(\vec 0\) không phải là phép vị tự vì không có điểm nào biến thành chính nó

---

Các khẳng định sau đây có đúng không ?

a. Phép vị tự luôn có điểm bất động (tức là điểm biến thành chính nó)

b. Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động

c. Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đúng. Tâm vị tự là điểm bất động

Câu b:

Sai. Phép vị tự tỉ số k = 1 có mọi điểm đều là bất động

Câu c:

Đúng. Phép vị tự tâm O luôn có điểm bất động O, nếu nó còn điểm bất động nữa là M (tức là ảnh M’ của M trùng với M) thì vì \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OM'}  = k.\overrightarrow {OM} \) nên k = 1

Vậy phép vị tự đó là phép đồng nhất nên mọi điểm đều bất động

---

Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau :

a. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

b. Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

c. Một đường tròn chứa đường tròn kia

Hướng dẫn giải:

Gọi I là tâm vị tự ngoài, I’ là tâm vị tự trong của hia đường tròn (O) và (O′)

Câu a:

Nếu (O) và (O′) tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm I’ là tâm vị tự trong, giao điểm của OO’ với tiếp tuyến chung ngoài của O và (O′) (nếu có) là tâm vị tự ngoài (h.a)

Câu b:

Nếu (O) và (O′) tiếp xúc trong thì tiếp điểm I là tâm vị tự ngoài, tâm vị tự trong I’ xác định như hình vẽ b)

Câu c:

Nếu (O) chứa (O′) thì xác định I và I’ như hình vẽ c) ( đặc biệt, khi O trùng O’ thì I và I’ trùng O)

---

 Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và (O)' ở N sao cho M là trung điểm của AN

Hướng dẫn giải:

Giả sử đã dựng được đường thẳng d theo yêu cầu của bài toán.

Vì M là trung điểm AN nên \(\overrightarrow {AN}  = 2\overrightarrow {AM} \)

Như vậy, gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số 2 thì V biến M thành N

Nếu V biến (O) thành (O”) thì (O”) phải đi qua N

Vậy N là giao điểm của hai đường tròn (O’) và (O”)

Từ đó suy ra cách dựng:

- Dựng O” = V(O)

- Gọi N = (O’) ∩ (O”), M = AN ∩ (O)

---

Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N

Hướng dẫn giải:

 

Đặt IO = d (d ≠ 0). Theo tính chất đường phân giác của tam giác MOI, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{IN}}{{NM}} = \frac{{IO}}{{OM}} = \frac{d}{R}\\
 \Rightarrow \frac{{IN}}{{IN + NM}} = \frac{d}{{d + R}} \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{d}{{d + R}}
\end{array}\)

Vì hai vecto \({\overrightarrow {IN} }\) và \({\overrightarrow {IM} }\) cùng hướng nên đẳng thức trên có nghĩa là: \(\overrightarrow {IN}  = \frac{d}{{d + R}}\overrightarrow {IM} \)

Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số \(k = \frac{d}{{d + R}}\) thì V biến điểm M thành điểm N

Khi M ở vị trí M₀ trên đường tròn (O ; R) sao cho \(\widehat {IO{M_0}} = {0^ \circ }\) thì tia phân giác của góc \(\widehat {IO{M_0}}\) không cắt IM. Điểm N không tồn tại.

Vậy khi M chạy trên (O ; R) (M khác hẳn M₀) thì quỹ tích điểm N là ảnh của (O ; R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M₀

---

Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải:

 

Kéo dài BC cắt (O’) tại B’

Vì C là tâm vị tự trong của (O’) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O'B} \) và \(\overrightarrow {O''B} \) ngược hướng

Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O''B} \) và \(\overrightarrow {OB} \) ngược hướng

Vậy hai vecto \(\overrightarrow {O'B} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) cùng hướng

Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và (O’)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 1 Bài 6 Phép vị tự được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!