Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 1 Bài 4 Phép quay và phép đối xứng tâm

Cho phép quay Q tâm O với góc quay φ và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của d qua phép quay Q

Hướng dẫn giải:

 

Ảnh d’ của đường thẳng d qua phép quay  Q(O; φ) có thể dựng như sau:

Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d, rồi dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’ và B’

---

Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng A'B' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B (h.16). Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'.Chứng minh GOG' là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải:

Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay π/2 (bằng góc lượng giác (OA ; OB)). Khi đó Q biến A thành B và biến A’ thành B’, tức là biến tam giác OAA’ và OBB’

Bởi vậy Q biến G (trọng tâm tam giác OAA’) thành G’ (trọng tâm tam giác OBB’).

Suy ra \(OG = OG';\widehat {GOG\prime } = \frac{\pi }{2}\)

Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O

Chú ý: Phép quay Q biến trọng tâm G tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ ảnh của △ABC qua Q được suy ra từ phép quay Q biến trung điểm I của đoạn thẳng

---

Giả sử phép đối xứng tâm D_O biến đường thẳng d thành d'. Chứng minh

a. Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d' song song với d, O cách đều d và d'

b. Hai đường thẳng d và d' trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Kẻ OH ⊥ d(H ∈ d) thì vì d không đi qua O nên H không trùng với O

Phép đối xứng tâm Đ_O biến H thành H’ thì O là trung điểm của HH’, và biến đường thẳng  d thành đường thẳng d’ vuông góc với OH’ tại H’.

Suy ra d và d’ song song, cách đều điểm O

Câu b:

 Nếu d không đi qua điểm O thì theo câu a), d’ // d nên d’ không trùng với d.

Nếu d đi qua O thì mọi điểm M ∈ d biến thành điểm M′ ∈ d′

---

Cho phép đối xứng tâm DO và đường thẳng d không đi qua O. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của đường thẳng d qua D_O. Tìm cách dựng d' mà chỉ sử dụng compa một lần và thước thẳng ba lần

Hướng dẫn giải:

Cách dựng ảnh d’ của d như sau: Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d rồi dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’ và B’

Ta có thể dựng cụ thể như sau: Dựng đường tròn (O;R) sao cho nó cắt d tại hai điểm phân biệt A, B. Dựng các đường thẳng AO và BO, chúng cắt đường tròn đó lần lượt tại A’ và B’

Dựng đường thẳng d’ đi qua A’ và B’

Phép dựng trên đây sử dụng compa một lần và thước thẳng ba lần

---

Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau đây:

a. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau

b. Hình gồm hai đường thẳng song song

c. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau

d. Đường elip

e. Đường hypebol

Hướng dẫn giải:

a. Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng

b. Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng

c. Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn

d. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của elip

e. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của hypebol

---

Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm BC . Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM

Hướng dẫn giải:

 

Ta vẽ đường kính AM của đường tròn. Khi đó BH // MC ( vì cùng vuông góc với AC) hay BHCM là hình bình hành

Nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của MH

Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H. Khi A chạy trên đường tròn (O; R) thì M chạy trên đường tròn (O;R). Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép đối xứng tâm với tâm I

---

Cho đường tròn (O;R), đường thẳng △ và điểm I . Tìm điểm A trên (O; R) và điểm B trên △ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải:

 

Giả sử ta đã có điểm A trên đường tròn (O;R) và điểm B trên △ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Phép đối xứng tâm Đ_I biến điểm B thành điểm A nên biến đường thẳng △ thành đường thẳng △′ đi qua A.

Mặt khác A lại nằm trên (O;R) nên A phải là giao điểm của △′ và (O;R)

Suy ra cách dựng:

Dựng đường thẳng △′ là ảnh của △ qua phép đối xứng tâm ĐI. Lấy A là  giao điểm (nếu có) của ${△}^{\prime }$ và (O;R), còn B là giao điểm của đường thẳng AI và đường thẳng △

---

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 điểm I(x₀; y₀). Phép đối xứng tâm D_I biến đường thẳng △ thành đường thẳng △′. Viết phương trình của △′

Hướng dẫn giải:

Giả sử M(x, y) ∈ △ và M′(x′, y') ∈ △ và I là trung điểm  của MM’ nên:

\(\begin{array}{l}
x + x\prime  = 2{x_0},y + y\prime  = 2{y_0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2{x_0} - x\prime \\
y = 2{y_0} - y\prime 
\end{array} \right.\\
M(x,y) \in \Delta  \Rightarrow a(2{x_0} - x\prime ) + b(2{y_0} - y\prime ) + c = 0\\
 \Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} - ax\prime  - by\prime  + c = 0\\
 \Leftrightarrow ax\prime  + by\prime  + c - 2(a{x_0} + b{y_0} + c) = 0
\end{array}\)

Vậy M’ nằm trên đường thẳng ảnh △′ có phương trình:

\(ax + by + c--2(a{x_0} + b{y_0} + c) = 0\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 1 Bài 4 Phép quay và phép đối xứng tâm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!