Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 1 Bài 2 Phép tịnh tiến và phép dời hình

Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d’. Trong trường hợp nào thì : d trùng d’ ? d song song với d’ ? d cắt d’ ?

Hướng dẫn giải:

Nếu \(\overrightarrow u \) là vecto chỉ phương của d thì d trùng với d’

Nếu \(\overrightarrow u \) không là vecto chỉ phương của d thì d // d’

d không bao giờ cắt d’

---

Cho hai đường thẳng song song a và a’. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a’.

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a’, phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {AA'} \)  biến a thành a’. 

---

Cho hai phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) và \({T_{\overrightarrow v }}\) với điểm M bất kì, \({T_{\overrightarrow u }}\) biến M thành điểm M’,\({T_{\overrightarrow v }}\) biến M’ thành điểm M”. Chứng tỏ rằng phép tịnh tiến biến M thành M” là một phép tịnh tiến.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{T_{\overrightarrow u }}:M \to M\prime \\
{T_{\overrightarrow v }}:M' \to M
\end{array}\)

Suy ra \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u ,\overrightarrow {M'M}  = \overrightarrow v \)

Do đó: \(\overrightarrow {MM}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'M}  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v \)

---

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {AB} \) nên phép tịnh tiến T theo vecto\(\overrightarrow {AB} \)  biến M thành M’. Nếu gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức \(\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {AB} \) thì quỹ tích M’ là đường tròn tâm O’ có bán kính bằng bán kính đường tròn (O).

---

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với α, a, b,blà những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(x′;y), trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}
x\prime  = xcos\alpha  - ysin\alpha  + a\\
y\prime  = xsin\alpha  + ycos\alpha  + b
\end{array} \right.\)

a. Cho hai điểm M(x₁; y₁), N(x₂; y₂) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'

b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

d. Khi α = 0, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Hướng dẫn giải:

Câu a:

M’ có tọa độ (x₁, $\mathrm{y₁})$ với \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1}\prime  = {x_1}cos\alpha  - {y_1}sin\alpha  + a\\
{y_1}\prime  = {x_1}sin\alpha  + {y_2}cos\alpha  + b
\end{array} \right.\)

N có tọa độ (x₂, $\mathrm{y₂})$ với \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_2}\prime  = {x_2}cos\alpha  - {y_2}sin\alpha  + a\\
{y_2}\prime  = {x_2}sin\alpha  + {y_2}cos\alpha  + b
\end{array} \right.\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
d = MN = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} \\
d' = M'N' = \sqrt {{{(x{'_1} - x{'_2})}^2} + {{(y{'_1} - y{'_2})}^2}} \\
 = 2\sqrt {{{[({x_1} - {x_2})\cos \alpha  - ({y_1} - {y_2})\sin \alpha ]}^2} + {{[({x_1} - {x_2})\sin \alpha  + ({y_1} - {y_2})\cos \alpha ]}^2}} \\
 = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2}{{\cos }^2}\alpha  + {{({y_1} - {y_2})}^2}{{\sin }^2}\alpha  + {{({x_1} - {x_2})}^2}{{\sin }^2}\alpha  + {{({y_1} - {y_2})}^2}{{\cos }^2}\alpha } \\
 = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} 
\end{array}\)

Câu c: 

Từ câu b suy ra MN = M′N′ do đó F là phép dời hình.

Câu d:

Khi α = 0, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
x\prime  = x + a\\
y\prime  = y + b
\end{array} \right.\)

Vậy F là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\)

---

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:

- Phép biến hình F₁ biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(y; −x)

- Phép biến hình F₂ biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(2x; y)

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?

Hướng dẫn giải:

Lấy hai điểm bất kì M=(x₁; y₁) và N(x₂; y₂) khi đó

\(MN = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} \)

Ảnh của M, N qua F₁ lần lượt là M′ = (y₁; −x₁) và N′ = (y₂; −x₂)

Vậy ta có: \(M'N' = \sqrt {{{({y_1} - {y_2})}^2} + {{({-x_1} + {x_2})}^2}} \)

Suy ra M′N′ = MN, vậy F1 là phép dời hình

Ảnh của M, N qua F₂ lần lượt là M′ = (2x₁; y₁) và N′ = (2x₂; y₂)

Ta có: \(M'N' = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} \)

Suy ra : nếu x₁ ≠ x₂ thì M′N′ ≠ MN vậy F₂ không phải là phép dời hình

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 1 Bài 5 Đạo hàm cấp cao được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!