Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phú Lương có đáp án

UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017     Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

Bài 1 (2,0 điểm).

   a) Giải phương trình: \(\frac{{\rm{1}}}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

   b) Tìm số tự nhiên n để n⁴ + 4 là số nguyên tố.

Bài 2 (1,0 điểm). 

Tìm GTNN của \(A = \frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{{y^2}}}{{y + z}} + \frac{{{z^2}}}{{z + x}}\) biết x, y, z > 0 ,\(\sqrt {xy}  + \sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  = 1.\)

Bài 3 (2,0 điểm).

    a) Giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  = 2\)

    b) Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 18\\{x^2}{y^2} + {x^2}y + x{y^2} + xy = 72\end{array} \right.\)

Bài 4  (4,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của \(\widehat {IAM}\) cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM  tại K.

1. Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh \(HF \bot BI\).
3. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi \(\Delta AMB\) đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?

Bài 5 (1.0 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:

\(\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{2^x} + 2} \right)\left( {{2^x} + 3} \right)\left( {{2^x} + 4} \right) - {5^y} = 11879\).

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Phú Lương:

Bài 1 (2,0 điểm)

a)  ĐK: \(x \ne 1\).

\(\frac{{\rm{1}}}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{{x^3} - 1}}\)

 \( \Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2{x^2} - 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0{\rm{        (*)}}\)

Giải phương trình (*) ta được: \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\)

Kết hợp với ĐK ta có \(x = \frac{{ - 1}}{4}\) là nghiệm của phương trình.

b)

Ta có \({n^4} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}{n^4} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}4{n^2}-{\rm{ }}4{n^2}\)

\( = {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}{n^2} + {\rm{ }}2} \right)^2}-{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}2n} \right)\)

\( = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}{n^2}-{\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right).\left( {{\rm{ }}{n^2} + {\rm{ }}2n + {\rm{ }}2} \right)\)

Vì n là số tự nhiên nên \({n^2} + {\rm{ }}2n + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}1\) nên n² - 2n + 2 = 1⇔ n = 1 

Bài 2 (1,0 điểm)

\(\frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{{y^2}}}{{y + z}} + \frac{{{z^2}}}{{z + x}} \ge \frac{{x + y + z}}{2}\) .

Theo bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} ;\frac{{y + z}}{2} \ge \sqrt {yz} ;\frac{{z + x}}{2} \ge \sqrt {zx} \) nên \(\frac{{x + y + z}}{2} \ge \frac{{\sqrt {xy}  + \sqrt {yz}  + \sqrt {zx} }}{2} = \frac{1}{2}\)

\(\min A = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.\)
 

Trên đây là một phần trích dẫn của Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phú Lương. Để xem được nội dung đầy đủ và đáp án, các em vui lòng đăng nhập website Hoc247.Net, bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.